Номер 213, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

213. Даны вектор $\vec{a}(5; -4)$ и точка $K(-3; 7)$. Найдите координаты такой точки $P$, чтобы векторы $\vec{a}$ и $\vec{KP}$ были противоположными.

213. Даны вектор $\vec{a}(5; -4)$ и точка $K(-3; 7)$. Найдите координаты такой точки $P$, чтобы векторы $\vec{a}$ и $\vec{KP}$ были противоположными.

По условию, векторы $\vec{a}$ и $\overrightarrow{KP}$ противоположны. Два вектора называются противоположными, если они имеют одинаковые модули и противоположные направления. Это означает, что координаты одного вектора являются противоположными числами по отношению к соответствующим координатам другого вектора. Математически это записывается как $\overrightarrow{KP} = -\vec{a}$.

Нам дан вектор $\vec{a}(5; -4)$. Найдем координаты вектора $-\vec{a}$:

$-\vec{a} = (-5; -(-4)) = (-5; 4)$.

Следовательно, вектор $\overrightarrow{KP}$ имеет координаты $(-5; 4)$.

Обозначим координаты искомой точки $P$ как $(x_P; y_P)$. Координаты точки $K$ известны: $K(-3; 7)$.

Координаты вектора, заданного двумя точками, находятся путем вычитания соответствующих координат начальной точки из координат конечной точки. Для вектора $\overrightarrow{KP}$ имеем:

$\overrightarrow{KP} = (x_P - x_K; y_P - y_K)$

Подставим известные координаты точки $K$:

$\overrightarrow{KP} = (x_P - (-3); y_P - 7) = (x_P + 3; y_P - 7)$

Теперь у нас есть два выражения для координат вектора $\overrightarrow{KP}$. Приравняем их соответствующие координаты:

$x_P + 3 = -5$

$y_P - 7 = 4$

Решим полученную систему уравнений. Из первого уравнения найдем $x_P$:

$x_P = -5 - 3$

$x_P = -8$

Из второго уравнения найдем $y_P$:

$y_P = 4 + 7$

$y_P = 11$

Таким образом, координаты точки $P$ равны $(-8; 11)$.

Ответ: $P(-8; 11)$.