Номер 220, страница 26 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

220. Даны векторы $\vec{a}(3;-4)$, $\vec{b}(2; 3)$ и $\vec{m}(8; -5)$. Найдите такие числа $x$ и $y$, что $\vec{m} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

220. Даны векторы $\vec{a}(3; -4)$, $\vec{b}(2; 3)$ и $\vec{m}(8; -5)$. Найдите такие числа x и y, что $\vec{m} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

По условию задачи, вектор $\vec{m}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с коэффициентами $x$ и $y$ соответственно: $\vec{m} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

Запишем это векторное уравнение в координатной форме. Для этого подставим координаты данных векторов $\vec{a}(3; -4)$, $\vec{b}(2; 3)$ и $\vec{m}(8; -5)$.

Сначала найдем координаты векторов $x\vec{a}$ и $y\vec{b}$:

$x\vec{a} = x(3; -4) = (3x; -4x)$

$y\vec{b} = y(2; 3) = (2y; 3y)$

Теперь найдем координаты суммы векторов $x\vec{a} + y\vec{b}$:

$x\vec{a} + y\vec{b} = (3x + 2y; -4x + 3y)$

Подставим полученное выражение в исходное векторное уравнение:

$(8; -5) = (3x + 2y; -4x + 3y)$

Два вектора равны, если их соответствующие координаты равны. Это позволяет нам составить систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $x$ и $y$:

$\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ -4x + 3y = -5\end{cases}$

Решим эту систему уравнений. Можно использовать метод сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными по знаку:

$4 \cdot (3x + 2y = 8) \implies 12x + 8y = 32$

$3 \cdot (-4x + 3y = -5) \implies -12x + 9y = -15$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 12x + 8y = 32 \\ -12x + 9y = -15\end{cases}$

Сложим два уравнения почленно:

$(12x + 8y) + (-12x + 9y) = 32 + (-15)$

$17y = 17$

$y = 1$

Подставим найденное значение $y=1$ в первое уравнение исходной системы ($3x + 2y = 8$) для нахождения $x$:

$3x + 2(1) = 8$

$3x + 2 = 8$

$3x = 8 - 2$

$3x = 6$

$x = \frac{6}{3}$

$x = 2$

Таким образом, мы нашли искомые числа.

Ответ: $x = 2$, $y = 1$.