Номер 217, страница 26 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

217. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(-4; -5)$, $B(-3; 2)$, $C(3; 4)$ и $D(8; -1)$ является трапецией.

217. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(-4; -5)$, $B(-3; 2)$, $C(3; 4)$ и $D(8; -1)$ является трапецией.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является трапецией, необходимо показать, что одна пара его противоположных сторон параллельна, а другая — нет. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны.

Координаты вершин четырёхугольника: A(-4; -5), B(-3; 2), C(3; 4) и D(8; -1).

Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Вычислим угловые коэффициенты для каждой стороны четырёхугольника:

1. Угловой коэффициент стороны AB, проходящей через точки A(-4; -5) и B(-3; 2):
$k_{AB} = \frac{2 - (-5)}{-3 - (-4)} = \frac{2 + 5}{-3 + 4} = \frac{7}{1} = 7$

2. Угловой коэффициент стороны BC, проходящей через точки B(-3; 2) и C(3; 4):
$k_{BC} = \frac{4 - 2}{3 - (-3)} = \frac{2}{3 + 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

3. Угловой коэффициент стороны CD, проходящей через точки C(3; 4) и D(8; -1):
$k_{CD} = \frac{-1 - 4}{8 - 3} = \frac{-5}{5} = -1$

4. Угловой коэффициент стороны DA, проходящей через точки D(8; -1) и A(-4; -5):
$k_{DA} = \frac{-5 - (-1)}{-4 - 8} = \frac{-5 + 1}{-12} = \frac{-4}{-12} = \frac{1}{3}$

Теперь сравним угловые коэффициенты противоположных сторон:

- Для сторон BC и DA: $k_{BC} = \frac{1}{3}$ и $k_{DA} = \frac{1}{3}$. Так как их угловые коэффициенты равны, стороны BC и DA параллельны (BC || DA).

- Для сторон AB и CD: $k_{AB} = 7$ и $k_{CD} = -1$. Так как их угловые коэффициенты не равны, стороны AB и CD не параллельны.

Поскольку у четырёхугольника ABCD ровно одна пара противоположных сторон параллельна, он является трапецией по определению. Что и требовалось доказать.

Ответ: Четырёхугольник ABCD является трапецией, так как его стороны BC и DA параллельны (их угловые коэффициенты равны $1/3$), а стороны AB и CD не параллельны (их угловые коэффициенты равны $7$ и $-1$ соответственно).