Номер 230, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

230. Найдите координаты вектора $\vec{m}$, коллинеарного вектору $\vec{n}(-3; 1)$, если $\vec{m} \cdot \vec{n} = 24$.

230. Найдите координаты вектора $ \vec{m} $, коллинеарного вектору $ \vec{n}(-3; 1) $, если $ \vec{m} \cdot \vec{n} = 24 $.

По условию задачи, вектор $\vec{m}$ коллинеарен вектору $\vec{n}(-3; 1)$. Два вектора называются коллинеарными, если один из них можно выразить через другой, умножив на некоторое число (скаляр). Обозначим это число как $k$. Тогда можно записать равенство:

$\vec{m} = k \cdot \vec{n}$

Пусть вектор $\vec{m}$ имеет координаты $(x; y)$. Тогда, исходя из определения умножения вектора на число, его координаты будут равны:

$x = k \cdot (-3) = -3k$

$y = k \cdot 1 = k$

Таким образом, координаты вектора $\vec{m}$ можно выразить через $k$: $\vec{m}(-3k; k)$.

Также нам дано, что скалярное произведение векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ равно 24:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = 24$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$

Подставим координаты векторов $\vec{m}(-3k; k)$ и $\vec{n}(-3; 1)$ в эту формулу:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = (-3k) \cdot (-3) + k \cdot 1 = 9k + k = 10k$

Теперь приравняем полученное выражение к заданному значению скалярного произведения и решим уравнение относительно $k$:

$10k = 24$

$k = \frac{24}{10} = 2.4$

Зная значение $k$, мы можем найти координаты вектора $\vec{m}$, подставив $k=2.4$ в выражения для его координат:

$x = -3k = -3 \cdot 2.4 = -7.2$

$y = k = 2.4$

Следовательно, искомые координаты вектора $\vec{m}$ равны $(-7.2; 2.4)$.

Ответ: $\vec{m}(-7.2; 2.4)$