Номер 237, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

237. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (-2; 3)$, $B (2; 7)$, $C (6; 3)$ и $D (2; -1)$ является квадратом.

237. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (-2; 3)$, $B (2; 7)$, $C (6; 3)$ и $D (2; -1)$ является квадратом.

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом, необходимо установить, что все его стороны равны между собой и его диагонали также равны.

Даны координаты вершин: A(–2; 3), B(2; 7), C(6; 3), D(2; –1).

Для вычисления длин отрезков будем использовать формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Длина стороны AB:
$AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{(2+2)^2 + 4^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.

Длина стороны BC:
$BC = \sqrt{(6 - 2)^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.

Длина стороны CD:
$CD = \sqrt{(2 - 6)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.

Длина стороны DA:
$DA = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (3+1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.

Так как $AB = BC = CD = DA = \sqrt{32}$, все стороны четырехугольника равны. Это означает, что ABCD является ромбом.

Длина диагонали AC:
$AC = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{(6+2)^2 + 0^2} = \sqrt{8^2} = 8$.

Длина диагонали BD:
$BD = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-1 - 7)^2} = \sqrt{0^2 + (-8)^2} = \sqrt{64} = 8$.

Так как $AC = BD = 8$, диагонали четырехугольника равны.

Поскольку четырехугольник ABCD является ромбом (все его стороны равны) и его диагонали равны, он является квадратом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: четырехугольник ABCD является квадратом, так как все его стороны равны $\sqrt{32}$, а диагонали равны 8.