Номер 238, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

238. Каким треугольником, остроугольным, тупоугольным или прямоугольным, является треугольник $ABC$, если $A (-3; 2)$, $B (5; 3)$, $C (-4; -3)$?

238. Каким треугольником, остроугольным, тупоугольным или прямоугольным, является треугольник $ABC$, если $A (-3; 2)$, $B (5; 3)$, $C (-4; -3)$?

Для того чтобы определить вид треугольника $ABC$ (остроугольный, тупоугольный или прямоугольный), необходимо найти длины его сторон, а точнее, их квадраты, и применить теорему, обратную теореме Пифагора. Пусть $a, b, c$ — стороны треугольника, причем $c$ — наибольшая сторона.

• Если $c^2 = a^2 + b^2$, то треугольник прямоугольный.
• Если $c^2 < a^2 + b^2$, то треугольник остроугольный.
• Если $c^2 > a^2 + b^2$, то треугольник тупоугольный.

Найдем квадраты длин сторон треугольника $ABC$ с вершинами в точках $A(-3; 2)$, $B(5; 3)$, $C(-4; -3)$, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

1. Вычисление квадрата длины стороны AB:
$AB^2 = (5 - (-3))^2 + (3 - 2)^2 = (5 + 3)^2 + 1^2 = 8^2 + 1^2 = 64 + 1 = 65$.

2. Вычисление квадрата длины стороны BC:
$BC^2 = (-4 - 5)^2 + (-3 - 3)^2 = (-9)^2 + (-6)^2 = 81 + 36 = 117$.

3. Вычисление квадрата длины стороны AC:
$AC^2 = (-4 - (-3))^2 + (-3 - 2)^2 = (-4 + 3)^2 + (-5)^2 = (-1)^2 + 25 = 1 + 25 = 26$.

4. Сравнение квадратов сторон:
Мы получили квадраты длин сторон: $AB^2 = 65$, $BC^2 = 117$, $AC^2 = 26$.Наибольшей стороной является $BC$, так как $BC^2$ имеет наибольшее значение.Теперь сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$BC^2$ vs $AB^2 + AC^2$
$117$ vs $65 + 26$
$117$ vs $91$

Поскольку $117 > 91$, то выполняется неравенство $BC^2 > AB^2 + AC^2$.Это означает, что угол, противолежащий стороне $BC$ (угол $A$), является тупым. Следовательно, треугольник $ABC$ — тупоугольный.

Ответ: Треугольник $ABC$ является тупоугольным.