Номер 244, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

244. Дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, точка $M$ — середина стороны $CD$. Существует ли параллельный перенос, при котором:

1) сторона $CD$ является образом стороны $AB$;

2) сторона $AD$ является образом стороны $BC$;

3) отрезок $CM$ является образом отрезка $MD$?

В случае утвердительного ответа укажите вектор, на который должен осуществляться параллельный перенос.

Рис. 19

244. Дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, точка $M$ — середина стороны $CD$. Существует ли параллельный перенос, при котором:

1) сторона $CD$ является образом стороны $AB$;

2) сторона $AD$ является образом стороны $BC$;

3) отрезок $CM$ является образом отрезка $MD$? В случае утвердительного ответа укажите вектор, на который должен осуществляться параллельный перенос.

Рис. 19

1) Параллельный перенос является движением, при котором отрезок переходит в равный и параллельный ему отрезок. Для того чтобы сторона $CD$ являлась образом стороны $AB$ при параллельном переносе, необходимо, чтобы эти стороны были параллельны и равны по длине, то есть $AB \parallel CD$ и $|AB| = |CD|$. В равнобокой трапеции боковые стороны равны, поэтому условие $|AB| = |CD|$ выполняется. Однако боковые стороны трапеции не параллельны ($AB \not\parallel CD$), иначе фигура была бы параллелограммом. Так как одно из условий не выполняется, такого параллельного переноса не существует.
Ответ: Нет, не существует.

2) Для того чтобы сторона $AD$ была образом стороны $BC$ при параллельном переносе, необходимо, чтобы эти стороны были параллельны и равны по длине: $AD \parallel BC$ и $|AD| = |BC|$. По определению трапеции, ее основания параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Однако в трапеции, которая не является параллелограммом, длины оснований различны, то есть $|AD| \neq |BC|$. Следовательно, такого параллельного переноса не существует.
Ответ: Нет, не существует.

3) Пусть существует параллельный перенос на вектор $\vec{v}$, при котором отрезок $MD$ переходит в отрезок $CM$. Это означает, что концы отрезка $MD$ переходят в концы отрезка $CM$. Рассмотрим два возможных случая:
а) Точка $M$ переходит в $C$, а точка $D$ переходит в $M$. В этом случае вектор переноса $\vec{v}$ должен быть равен вектору $\vec{MC}$ и одновременно вектору $\vec{DM}$. Проверим, равны ли эти векторы. По условию, $M$ — середина отрезка $CD$. Это означает, что векторы $\vec{CM}$ и $\vec{MD}$ равны: $\vec{CM} = \vec{MD}$. Вектор $\vec{MC}$ противоположен вектору $\vec{CM}$, то есть $\vec{MC} = -\vec{CM}$. Вектор $\vec{DM}$ противоположен вектору $\vec{MD}$, то есть $\vec{DM} = -\vec{MD}$. Так как $\vec{CM} = \vec{MD}$, то и $-\vec{CM} = -\vec{MD}$, откуда следует, что $\vec{MC} = \vec{DM}$. Таким образом, существует вектор переноса $\vec{v} = \vec{MC} = \vec{DM}$, при котором точка $M$ переходит в $C$, а точка $D$ — в $M$. Следовательно, отрезок $MD$ переходит в отрезок $CM$.
б) Точка $M$ переходит в $M$, а точка $D$ переходит в $C$. Если $M$ переходит в $M$, то вектор переноса нулевой: $\vec{v} = \vec{MM} = \vec{0}$. Если $D$ переходит в $C$, то вектор переноса $\vec{v} = \vec{DC}$. Так как точки $D$ и $C$ различны, $\vec{DC} \neq \vec{0}$. Этот случай невозможен.
Следовательно, такой перенос существует.
Ответ: Да, существует. Вектор переноса $\vec{v} = \vec{DM}$ (или равный ему вектор $\vec{MC}$).