Номер 251, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

251. Даны точки $K (-4; 7)$ и $P (8; -1)$. При параллельном переносе образом середины отрезка $KP$ является точка $M (-3; -1)$. Найдите образы точек $K$ и $P$ при таком параллельном переносе.

251. Даны точки $K(-4; 7)$ и $P(8; -1)$. При параллельном переносе образом середины отрезка $KP$ является точка $M(-3; -1)$. Найдите образы точек $K$ и $P$ при таком параллельном переносе.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдём координаты середины отрезка KP

Пусть точка S – середина отрезка KP. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое координат его концов:

$x_S = \frac{x_K + x_P}{2}$

$y_S = \frac{y_K + y_P}{2}$

Подставим координаты точек K(–4; 7) и P(8; –1):

$x_S = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_S = \frac{7 + (-1)}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, середина отрезка KP — это точка S(2; 3).

2. Определим вектор параллельного переноса

По условию, образом точки S(2; 3) при параллельном переносе является точка M(–3; –1). Параллельный перенос задаётся формулами $x' = x + a$ и $y' = y + b$, где $(a; b)$ – координаты вектора переноса.

Найдём $a$ и $b$, подставив координаты точек S и M:

$-3 = 2 + a \implies a = -3 - 2 = -5$

$-1 = 3 + b \implies b = -1 - 3 = -4$

Следовательно, параллельный перенос осуществляется на вектор с координатами (–5; –4).

3. Найдём образы точек K и P

Теперь, зная вектор переноса, найдём образы точек K и P. Обозначим их K' и P'.

Для точки K(–4; 7):

$x_{K'} = x_K + a = -4 + (-5) = -9$

$y_{K'} = y_K + b = 7 + (-4) = 3$

Образ точки K — это точка K'(–9; 3).

Для точки P(8; –1):

$x_{P'} = x_P + a = 8 + (-5) = 3$

$y_{P'} = y_P + b = -1 + (-4) = -5$

Образ точки P — это точка P'(3; –5).

Ответ: образ точки K – K'(–9; 3), образ точки P – P'(3; –5).