Номер 253, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

253. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 14$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(2; -1).$

253. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 14$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(2; -1)$.

Стандартное уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Из уравнения исходной окружности $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 14$ мы можем определить её центр и радиус. Центр $C$ имеет координаты $(2, -1)$, а квадрат радиуса $R^2 = 14$.

Параллельный перенос является движением, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния между точками. Следовательно, образом окружности при параллельном переносе будет окружность с тем же радиусом. Изменится только положение её центра.

Чтобы найти координаты нового центра $C'$, нужно к координатам старого центра $C(2, -1)$ прибавить соответствующие координаты вектора переноса $\vec{a}(2; -1)$:
$x'_0 = 2 + 2 = 4$
$y'_0 = -1 + (-1) = -2$
Таким образом, новый центр окружности $C'$ находится в точке $(4, -2)$.

Радиус окружности при переносе не изменился, значит, квадрат нового радиуса $R'^2$ также равен 14.

Теперь мы можем записать уравнение искомой окружности, подставив в стандартную формулу координаты нового центра $C'(4, -2)$ и квадрат радиуса:
$(x - 4)^2 + (y - (-2))^2 = 14$
$(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 14$

Ответ: $(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 14$