Номер 257, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

257. Постройте образы отрезков $AB$ и $CD$, изображённых на рисунке 21, при симметрии относительно прямой $m$.

257. Постройте образы отрезков $AB$ и $CD$, изображённых на рисунке 21, при симметрии относительно прямой $m$.

Рис. 21

Для построения образов отрезков $AB$ и $CD$ при симметрии относительно прямой $m$ (осевой симметрии) необходимо построить образы их конечных точек ($A, B, C, D$) и соединить соответствующие пары точек.

Точка $P'$ называется симметричной точке $P$ относительно прямой $m$, если прямая $m$ является серединным перпендикуляром к отрезку $PP'$. Для построения на клетчатой бумаге воспользуемся свойством наклонов перпендикулярных прямых. Прямая $m$ построена так, что при смещении на 1 клетку вправо она смещается на 2 клетки вверх. Её "клеточный" уклон равен 2. Прямая, перпендикулярная ей, будет иметь уклон $-\frac{1}{2}$, то есть на каждые 2 клетки вправо она будет смещаться на 1 клетку вниз (или на 2 клетки влево и 1 клетку вверх).

1. Найдём точку $A'$, симметричную точке $A$. Проведём из точки $A$ перпендикуляр к прямой $m$. Для этого будем двигаться от точки $A$ по клеткам с уклоном $-\frac{1}{2}$. Сместившись на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз от точки $A$, мы попадём в точку на прямой $m$. Чтобы найти симметричную точку $A'$, нужно от полученной точки на прямой $m$ сделать такой же шаг: ещё раз сместиться на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз.

2. Найдём точку $B'$, симметричную точке $B$. Аналогично, из точки $B$ проведём прямую, перпендикулярную $m$. На этой прямой по другую сторону от $m$ на том же расстоянии от неё найдём точку $B'$.

3. Соединим точки $A'$ и $B'$. Полученный отрезок $A'B'$ является искомым образом отрезка $AB$.

Ответ: Образом отрезка $AB$ является отрезок $A'B'$, построенный по симметричным точкам $A'$ и $B'$.

1. Найдём точку $C'$, симметричную точке $C$. Проведём из точки $C$ перпендикуляр к прямой $m$ (смещаясь с уклоном $-\frac{1}{2}$) и найдём на нём точку $C'$ по другую сторону от $m$ на том же расстоянии.

2. Найдём точку $D'$, симметричную точке $D$. Проведём из точки $D$ перпендикуляр к $m$ и найдём симметричную точку $D'$.

3. Соединим точки $C'$ и $D'$. Полученный отрезок $C'D'$ является искомым образом отрезка $CD$.

Ответ: Образом отрезка $CD$ является отрезок $C'D'$, построенный по симметричным точкам $C'$ и $D'$.

На рисунке ниже показан результат построения. Исходные отрезки - черные, их образы - синие. Пунктиром показаны перпендикуляры, соединяющие точки с их образами.