Номер 262, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

262. На рисунке 22 $AB = AD$, $CB = CD$. Докажите, что точки $B$ и $D$ симметричны относительно прямой $AC$.

Рис. 21

Рис. 22

262. На рисунке 22 $AB = AD$, $CB = CD$. Докажите, что точки B и D симметричны относительно прямой AC.

Рис. 22

Для доказательства того, что точки $B$ и $D$ симметричны относительно прямой $AC$, необходимо доказать, что прямая $AC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BD$.

Согласно свойству серединного перпендикуляра, любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на этом перпендикуляре.

1. Рассмотрим точку $A$. По условию задачи дано, что $AB = AD$. Это означает, что точка $A$ равноудалена от точек $B$ и $D$. Следовательно, точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$.

2. Рассмотрим точку $C$. По условию $CB = CD$. Это означает, что точка $C$ также равноудалена от точек $B$ и $D$. Следовательно, и точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$.

Поскольку обе точки $A$ и $C$ принадлежат серединному перпендикуляру к отрезку $BD$, то прямая, проходящая через эти точки, а именно прямая $AC$, и является серединным перпендикуляром к отрезку $BD$.

По определению осевой симметрии, если прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему две точки, то эти точки симметричны относительно данной прямой. Таким образом, точки $B$ и $D$ симметричны относительно прямой $AC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.