Номер 268, страница 31 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

268. Осями симметрии прямоугольника являются прямые $y = 5$ и $x = 3$. Одна из его вершин имеет координаты $(-2; 3)$. Найдите координаты остальных вершин прямоугольника.

268. Осями симметрии прямоугольника являются прямые $y = 5$ и $x = 3$. Одна из его вершин имеет координаты $(-2; 3)$. Найдите координаты остальных вершин прямоугольника.

Оси симметрии прямоугольника — это прямые, проходящие через середины его противоположных сторон. Точка пересечения осей симметрии является центром прямоугольника.

Найдем координаты центра прямоугольника (обозначим его O), который является точкой пересечения прямых $x = 3$ и $y = 5$. Следовательно, центр O имеет координаты $(3; 5)$.

Пусть данная вершина будет A с координатами $(-2; 3)$. Остальные три вершины B, C и D можно найти, используя свойства симметрии относительно осей и центра.

1. Найдем координаты вершины, симметричной вершине A относительно оси $x = 3$.

Пусть это будет вершина B с координатами $(x_B; y_B)$. При симметрии относительно вертикальной прямой $x = a$ координата y сохраняется, а новая координата x вычисляется по формуле $x' = 2a - x$.
$y_B = y_A = 3$
$x_B = 2 \cdot 3 - x_A = 6 - (-2) = 8$
Таким образом, координаты вершины B: $(8; 3)$.

2. Найдем координаты вершины, симметричной вершине A относительно оси $y = 5$.

Пусть это будет вершина D с координатами $(x_D; y_D)$. При симметрии относительно горизонтальной прямой $y = b$ координата x сохраняется, а новая координата y вычисляется по формуле $y' = 2b - y$.
$x_D = x_A = -2$
$y_D = 2 \cdot 5 - y_A = 10 - 3 = 7$
Таким образом, координаты вершины D: $(-2; 7)$.

3. Найдем координаты последней вершины C.

Вершина C симметрична вершине A относительно центра симметрии O$(3; 5)$. Координаты $(x_C; y_C)$ можно найти по формулам для центральной симметрии: $x_C = 2x_O - x_A$ и $y_C = 2y_O - y_A$.
$x_C = 2 \cdot 3 - (-2) = 6 + 2 = 8$
$y_C = 2 \cdot 5 - 3 = 10 - 3 = 7$
Таким образом, координаты вершины C: $(8; 7)$.

Ответ: $(8; 3)$, $(-2; 7)$, $(8; 7)$.