Номер 274, страница 31 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

точки O.

274. Может ли образом прямой при центральной симметрии быть эта же прямая?

274. Может ли образом прямой при центральной симметрии быть эта же прямая?

Да, образом прямой при центральной симметрии может быть эта же самая прямая. Рассмотрим, при каком условии это возможно.

Центральная симметрия относительно точки $O$ (центра симметрии) — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $A$ переходит в такую точку $A'$, что $O$ является серединой отрезка $AA'$.

Пусть дана прямая $l$. Существует два возможных варианта расположения центра симметрии $O$ относительно этой прямой:

1. Центр симметрии $O$ не принадлежит прямой $l$ ($O \notin l$).
В этом случае, для любой точки $A$, принадлежащей прямой $l$, ее симметричный образ $A'$ не будет лежать на прямой $l$. Образом прямой $l$ будет прямая $l'$, которая проходит через точку $A'$ и параллельна исходной прямой $l$. Так как $O \notin l$, прямые $l$ и $l'$ различны. Следовательно, прямая не переходит в себя.

2. Центр симметрии $O$ принадлежит прямой $l$ ($O \in l$).
Возьмем любую точку $A$ на прямой $l$. Ее образ $A'$ также должен лежать на прямой, проходящей через точки $A$ и $O$. Поскольку обе точки $A$ и $O$ лежат на прямой $l$, то и точка $A'$ будет лежать на той же прямой $l$. Это означает, что каждая точка прямой $l$ отображается в некоторую точку на этой же прямой. Следовательно, вся прямая $l$ отображается на себя.

Таким образом, прямая является своим образом при центральной симметрии тогда и только тогда, когда центр симметрии лежит на этой прямой.

Ответ: Да, может, если центр симметрии лежит на этой прямой.