Номер 281, страница 32 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

281. Запишите уравнение окружности, симметричной окружности $(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 11$ относительно:

1) начала координат;

2) точки M (-4; 2).

281. Запишите уравнение окружности, симметричной окружности $(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 11$ относительно:

1) начала координат;

2) точки $M (-4; 2)$.

Исходное уравнение окружности: $(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 11$.
Это уравнение имеет стандартный вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.
Из данного уравнения находим, что центр исходной окружности — это точка $C(4; -3)$, а квадрат её радиуса $R^2 = 11$.
При симметрии относительно точки, радиус окружности не изменяется. Изменяется только положение её центра. Новый центр $C'(a'; b')$ будет симметричен старому центру $C(a; b)$ относительно заданной точки симметрии.

1) начала координат

Найдём координаты нового центра $C'(a'; b')$, который симметричен центру $C(4; -3)$ относительно начала координат $O(0; 0)$.
Точка $O(0; 0)$ является серединой отрезка $CC'$. Координаты середины отрезка находятся по формулам:
$x_O = \frac{x_C + x_{C'}}{2}$ и $y_O = \frac{y_C + y_{C'}}{2}$.
Подставим известные значения и найдём $a'$ и $b'$ (координаты точки $C'$):
$0 = \frac{4 + a'}{2} \implies 4 + a' = 0 \implies a' = -4$.
$0 = \frac{-3 + b'}{2} \implies -3 + b' = 0 \implies b' = 3$.
Таким образом, новый центр окружности — точка $C'(-4; 3)$.
Радиус окружности остаётся прежним, $R^2 = 11$.
Составим уравнение новой окружности, подставив координаты нового центра и радиус в стандартную формулу:
$(x - (-4))^2 + (y - 3)^2 = 11$
$(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 11$.
Ответ: $(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 11$.

2) точки М (-4; 2)

Найдём координаты нового центра $C'(a'; b')$, который симметричен центру $C(4; -3)$ относительно точки $M(-4; 2)$.
Точка $M$ является серединой отрезка $CC'$. Используем те же формулы для координат середины отрезка:
$x_M = \frac{x_C + x_{C'}}{2}$ и $y_M = \frac{y_C + y_{C'}}{2}$.
Подставим известные значения:
$-4 = \frac{4 + a'}{2} \implies -8 = 4 + a' \implies a' = -8 - 4 = -12$.
$2 = \frac{-3 + b'}{2} \implies 4 = -3 + b' \implies b' = 4 + 3 = 7$.
Таким образом, новый центр окружности — точка $C'(-12; 7)$.
Радиус окружности остаётся прежним, $R^2 = 11$.
Запишем уравнение новой окружности:
$(x - (-12))^2 + (y - 7)^2 = 11$
$(x + 12)^2 + (y - 7)^2 = 11$.
Ответ: $(x + 12)^2 + (y - 7)^2 = 11$.