Номер 283, страница 32 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

283. Запишите уравнение прямой, симметричной прямой $2x - 5y = -7$ относительно:

1) начала координат;

2) точки K $(-2; 1).$

283. Запишите уравнение прямой, симметричной прямой $2x - 5y = -7$ относительно:

1) начала координат;

2) точки K $(-2; 1)$.

1) начала координат

Пусть дана прямая $l_1$ с уравнением $2x - 5y = -7$. Мы ищем уравнение прямой $l_2$, симметричной прямой $l_1$ относительно начала координат $O(0, 0)$.

Симметрия относительно начала координат означает, что для любой точки $M(x_1, y_1)$, лежащей на прямой $l_1$, соответствующая ей симметричная точка $M'(x_2, y_2)$ лежит на прямой $l_2$. Координаты симметричной точки $M'$ связаны с координатами точки $M$ следующими соотношениями:
$x_2 = -x_1$
$y_2 = -y_1$

Отсюда мы можем выразить координаты точки $M$ через координаты точки $M'$:
$x_1 = -x_2$
$y_1 = -y_2$

Поскольку точка $M(x_1, y_1)$ лежит на прямой $l_1$, ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой:
$2x_1 - 5y_1 = -7$

Подставим выражения для $x_1$ и $y_1$ в это уравнение, чтобы получить уравнение, связывающее координаты точек прямой $l_2$:
$2(-x_2) - 5(-y_2) = -7$
$-2x_2 + 5y_2 = -7$

Это и есть уравнение прямой $l_2$, записанное через координаты ее точек $(x_2, y_2)$. Убрав индексы, получим общее уравнение прямой:
$-2x + 5y = -7$
Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы получить более стандартную форму:
$2x - 5y = 7$

Ответ: $2x - 5y = 7$

2) точки K (–2; 1)

Теперь найдем уравнение прямой $l_2$, симметричной прямой $l_1$ ($2x - 5y = -7$) относительно точки $K(-2, 1)$.

Симметрия относительно точки $K(x_K, y_K)$ означает, что точка $K$ является серединой отрезка, соединяющего любую точку $M(x_1, y_1)$ на прямой $l_1$ и симметричную ей точку $M'(x_2, y_2)$ на прямой $l_2$.

Используя формулы для координат середины отрезка:
$x_K = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$y_K = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Выразим координаты точки $M(x_1, y_1)$ через координаты точки $M'(x_2, y_2)$ и точки симметрии $K(-2, 1)$:
$x_1 = 2x_K - x_2 = 2(-2) - x_2 = -4 - x_2$
$y_1 = 2y_K - y_2 = 2(1) - y_2 = 2 - y_2$

Теперь подставим эти выражения для $x_1$ и $y_1$ в уравнение исходной прямой $l_1$:
$2x_1 - 5y_1 = -7$
$2(-4 - x_2) - 5(2 - y_2) = -7$

Раскроем скобки и упростим уравнение:
$-8 - 2x_2 - 10 + 5y_2 = -7$
$-2x_2 + 5y_2 - 18 = -7$
$-2x_2 + 5y_2 = 11$

Убираем индексы и получаем искомое уравнение прямой $l_2$:
$-2x + 5y = 11$
Для удобства можно умножить обе части на $-1$:
$2x - 5y = -11$

Ответ: $2x - 5y = -11$