Номер 282, страница 32 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

282. На рисунке 24 прямые $AB$ и $CD$ параллельны. Точки $A$ и $D$ симметричны относительно точки $O$. Прямая $BC$ проходит через точку $O$. Докажите, что точки $B$ и $C$ симметричны относительно точки $O$.

Рис. 24

282. На рисунке 24 прямые $AB$ и $CD$ параллельны. Точки $A$ и $D$ симметричны относительно точки $O$. Прямая $BC$ проходит через точку $O$. Докажите, что точки $B$ и $C$ симметричны относительно точки $O$.

Рис. 24

Чтобы доказать, что точки B и C симметричны относительно точки O, необходимо установить, что O является серединой отрезка BC. По условию задачи, прямая BC проходит через точку O, значит точки B, O, C лежат на одной прямой. Следовательно, достаточно доказать, что длины отрезков BO и CO равны ($BO = CO$).

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$.

• $AO = OD$ по условию, так как точки A и D симметричны относительно точки O.
• $\angle AOB = \angle DOC$ как вертикальные углы.
• Поскольку прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$), а прямая $AD$ является секущей, то накрест лежащие углы при этих прямых равны: $\angle OAB = \angle ODC$.

Таким образом, треугольник $\triangle AOB$ равен треугольнику $\triangle DOC$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона BO в $\triangle AOB$ лежит напротив угла $\angle OAB$. Сторона CO в $\triangle DOC$ лежит напротив угла $\angle ODC$. Так как углы $\angle OAB$ и $\angle ODC$ равны, то и противолежащие им стороны равны: $BO = CO$.

Мы установили, что точка O лежит на отрезке BC и делит его пополам ($BO = CO$). Это по определению означает, что точки B и C симметричны относительно точки O, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.