Номер 269, страница 31 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

269. Диагонали ромба лежат на координатных осях. Найдите координаты вершин ромба, если середина одной из его сторон имеет координаты $ (4; -3) $.

269. Диагонали ромба лежат на координатных осях. Найдите координаты вершин ромба, если середина одной из его сторон имеет координаты $(4; -3)$.

Поскольку диагонали ромба лежат на координатных осях, их точка пересечения — это начало координат (0, 0). Вершины ромба также лежат на координатных осях. Обозначим полудлины диагоналей как $a$ и $b$. Тогда координаты вершин ромба можно записать как:$A(a, 0)$, $C(-a, 0)$, $B(0, b)$ и $D(0, -b)$, где $a > 0$ и $b > 0$.

Найдем координаты середины каждой из четырех сторон ромба, используя формулу для координат середины отрезка $M(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})$.

• Середина стороны, соединяющей вершины $(a, 0)$ и $(0, b)$, имеет координаты $(\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$. Эта точка находится в I координатной четверти.
• Середина стороны, соединяющей вершины $(0, b)$ и $(-a, 0)$, имеет координаты $(-\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$. Эта точка находится во II координатной четверти.
• Середина стороны, соединяющей вершины $(-a, 0)$ и $(0, -b)$, имеет координаты $(-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2})$. Эта точка находится в III координатной четверти.
• Середина стороны, соединяющей вершины $(0, -b)$ и $(a, 0)$, имеет координаты $(\frac{a}{2}; -\frac{b}{2})$. Эта точка находится в IV координатной четверти.

В условии задачи дано, что середина одной из сторон имеет координаты (4; -3). Эта точка расположена в IV координатной четверти. Следовательно, мы можем приравнять ее координаты к координатам середины соответствующей стороны:

$\frac{a}{2} = 4$

$-\frac{b}{2} = -3$

Решим полученную систему уравнений:

Из первого уравнения находим $a$:
$a = 4 \cdot 2 = 8$

Из второго уравнения находим $b$:
$b = 3 \cdot 2 = 6$

Теперь мы можем определить координаты всех вершин ромба, подставив найденные значения $a=8$ и $b=6$:

• $(a, 0) \rightarrow (8, 0)$
• $(-a, 0) \rightarrow (-8, 0)$
• $(0, b) \rightarrow (0, 6)$
• $(0, -b) \rightarrow (0, -6)$

Ответ: Координаты вершин ромба: (8; 0), (-8; 0), (0; 6) и (0; -6).