Номер 263, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

263. Докажите, что если прямая, содержащая диагональ параллелограмма, является его осью симметрии, то этот параллелограмм — ромб.

263. Докажите, что если прямая, содержащая диагональ параллелограмма, является его осью симметрии, то этот параллелограмм — ромб.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Пусть прямая, содержащая его диагональ $AC$, является его осью симметрии.

По определению осевой симметрии, при отражении относительно прямой $AC$ параллелограмм $ABCD$ отображается сам на себя. Точки, лежащие на оси симметрии, остаются неподвижными, следовательно, точки $A$ и $C$ отображаются сами на себя. Вершина $B$, не лежащая на оси $AC$, должна отобразиться в вершину $D$. Аналогично, вершина $D$ отображается в вершину $B$.

Из этого следует, что при отражении относительно прямой $AC$ отрезок $AB$ отображается на отрезок $AD$, а отрезок $CB$ — на отрезок $CD$.

Осевая симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния между точками. Следовательно, длины отрезков, симметричных относительно оси, равны:

$AB = AD$ и $CB = CD$.

По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны равны:

$AB = CD$ и $AD = CB$.

Объединяя все эти равенства, мы получаем, что все стороны параллелограмма равны между собой:

$AB = AD = CB = CD$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, по определению является ромбом.

Следовательно, если прямая, содержащая диагональ параллелограмма, является его осью симметрии, то этот параллелограмм — ромб. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.