Номер 260, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

260. Начертите равносторонний треугольник $ABC$ со стороной 2 см и проведите прямую $m$, пересекающую стороны $AB$ и $BC$. Постройте треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $m$.

260. Начертите равносторонний треугольник $ABC$ со стороной 2 см и проведите прямую $m$, пересекающую стороны $AB$ и $BC$. Постройте треугольник, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $m$.

Решение задачи состоит из последовательного выполнения построений с помощью циркуля и линейки.

1. Построение равностороннего треугольника $ABC$. Начертите отрезок $AB$ длиной 2 см. Затем, установив раствор циркуля равным 2 см, проведите две дуги с центрами в точках $A$ и $B$. Точку пересечения дуг обозначьте как $C$. Соедините точки $A$, $B$ и $C$ отрезками. Полученный $\triangle ABC$ — равносторонний со стороной 2 см.

2. Проведение прямой $m$. Проведите произвольную прямую $m$ так, чтобы она пересекала стороны $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$.

3. Построение точек, симметричных вершинам треугольника. Для построения симметричного треугольника необходимо найти точки $A'$, $B'$ и $C'$, симметричные вершинам $A$, $B$ и $C$ относительно прямой $m$.

   • Чтобы построить точку $A'$, симметричную точке $A$, проведите через точку $A$ прямую, перпендикулярную прямой $m$. Пусть $H_A$ — точка их пересечения. На продолжении луча $AH_A$ за точку $H_A$ отложите отрезок $H_A A'$ так, чтобы $AH_A = H_A A'$.

   • Аналогично постройте точку $B'$, симметричную точке $B$. Проведите перпендикуляр из точки $B$ к прямой $m$, отметьте точку пересечения $H_B$ и отложите отрезок $H_B B'$ так, чтобы $BH_B = H_B B'$.

   • Таким же образом постройте точку $C'$, симметричную точке $C$, через перпендикуляр к прямой $m$ (с основанием $H_C$), отложив отрезок $H_C C'$ так, чтобы $CH_C = H_C C'$.

4. Построение искомого треугольника $A'B'C'$. Соедините отрезками полученные точки $A'$, $B'$ и $C'$.

Треугольник $A'B'C'$ является симметричным треугольнику $ABC$ относительно прямой $m$. Так как осевая симметрия является движением, она сохраняет расстояния между точками. Следовательно, $\triangle A'B'C'$ равен $\triangle ABC$, то есть также является равносторонним со стороной 2 см.

Ответ: Треугольник $A'B'C'$, построенный путем соединения точек $A'$, $B'$, $C'$, симметричных вершинам треугольника $ABC$ относительно прямой $m$, является искомым.