Номер 255, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

255. Прямая $a$ проходит через середину основания $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$. Можно ли утверждать, что прямая $a$ является осью симметрии треугольника $ABC$?

255. Прямая $a$ проходит через середину основания $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$. Можно ли утверждать, что прямая $a$ является осью симметрии треугольника $ABC$?

Осью симметрии равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$ является прямая, которая проходит через вершину $B$ и середину основания $AC$. Эта прямая является одновременно медианой, высотой и биссектрисой, проведенной из вершины $B$, и она перпендикулярна основанию $AC$.

В условии задачи дано, что прямая $a$ проходит через середину основания $AC$. Обозначим эту середину точкой $M$. Таким образом, прямая $a$ проходит через точку $M$.

Однако одного этого условия недостаточно, чтобы утверждать, что прямая $a$ является осью симметрии. Через точку $M$ можно провести бесконечное множество прямых. Для того чтобы прямая $a$ была осью симметрии, она должна также проходить через вершину $B$ (или, что то же самое, быть перпендикулярной основанию $AC$). В условии задачи этого не указано.

Рассмотрим контрпример. Пусть прямая $a$ проходит через точку $M$ (середину $AC$), но не проходит через вершину $B$. Например, прямая $a$ может быть проведена через точку $M$ под углом, отличным от 90 градусов к основанию $AC$. В таком случае при отражении относительно прямой $a$ вершина $B$ перейдет в точку $B'$, не лежащую на треугольнике, а вершины $A$ и $C$ не будут симметричны друг другу. Следовательно, такая прямая не является осью симметрии.

Таким образом, утверждать, что любая прямая $a$, проходящая через середину основания равнобедренного треугольника, является его осью симметрии, нельзя.

Ответ: Нет, нельзя.