Номер 259, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

259. Начертите равносторонний треугольник со стороной 3 см, проведите прямую, проходящую через одну из его вершин и не имеющую с треугольником других общих точек. Постройте треугольник, симметричный данному относительно этой прямой.

259. Начертите равносторонний треугольник со стороной 3 см, проведите прямую, проходящую через одну из его вершин и не имеющую с треугольником других общих точек. Постройте треугольник, симметричный данному относительно этой прямой.

Для решения задачи выполним последовательность геометрических построений с помощью циркуля и линейки.

1. Построение равностороннего треугольника. С помощью линейки начертим отрезок $AB$ длиной 3 см. Затем с помощью циркуля построим две дуги окружностей с центрами в точках $A$ и $B$ и радиусом 3 см. Точку их пересечения обозначим как $C$. Соединив точки $A$, $B$ и $C$, получим искомый равносторонний треугольник $ABC$.
2. Проведение оси симметрии. Выберем одну из вершин треугольника, например, вершину $A$. Через точку $A$ проведём произвольную прямую $l$, которая не имеет с треугольником других общих точек (то есть не пересекает сторону $BC$ и не лежит на прямых $AB$ или $AC$). Эта прямая будет служить осью симметрии.
3. Построение симметричных вершин. Теперь построим треугольник $A'B'C'$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $l$. Для этого найдём симметричные образы каждой вершины:
   • Поскольку вершина $A$ лежит на оси симметрии $l$, она отображается сама в себя. Таким образом, точка $A'$ совпадает с точкой $A$.
   • Для нахождения точки $B'$, симметричной точке $B$, опустим из точки $B$ перпендикуляр на прямую $l$. Обозначим точку их пересечения $H_B$. Затем на продолжении отрезка $BH_B$ за точку $H_B$ отложим отрезок $H_B B'$, равный по длине отрезку $BH_B$. Точка $B'$ — искомая.
   • Аналогично для точки $C'$: опустим перпендикуляр из точки $C$ на прямую $l$ (точка пересечения $H_C$) и на его продолжении отложим отрезок $H_C C'$, равный отрезку $CH_C$.
4. Построение симметричного треугольника. Соединим полученные точки $A'$, $B'$ и $C'$ (то есть $A$, $B'$ и $C'$) отрезками. Треугольник $AB'C'$ — искомый треугольник, симметричный данному относительно прямой $l$.

Ниже приведён чертёж, иллюстрирующий результат построений (исходный треугольник $ABC$ выделен оранжевым, симметричный ему треугольник $A'B'C'$ — красным).

Осевая симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния между точками. Поэтому полученный треугольник $A'B'C'$ равен исходному треугольнику $ABC$ и также является равносторонним со стороной 3 см.

Ответ: Построение треугольника, симметричного данному относительно указанной прямой, выполнено. Итоговый чертеж представлен в решении.