Номер 256, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

256. Даны прямая $a$ и точка $P$, непринадлежащая ей (рис. 20).

Постройте точку, симметрич-ную точку $P$ относительно пря-мой $a$.

256. Даны прямая $a$ и точка $P$, не принадлежащая ей (рис. 20). Постройте точку, симметричную точке $P$ относительно прямой $a$.

Рис. 20

Точка, симметричная точке P относительно прямой a, — это такая точка P', для которой прямая a является серединным перпендикуляром к отрезку PP'. Это означает, что отрезок PP' перпендикулярен прямой a, а точка их пересечения (обозначим ее M) должна быть серединой отрезка PP'.

Для построения искомой точки на клетчатой бумаге выполним следующие шаги:

1. Проведем перпендикуляр из точки P к прямой a.На рисунке видно, что прямая a проходит по сетке так, что при смещении на одну клетку вправо она смещается на одну клетку вниз (ее тангенс угла наклона к оси абсцисс равен -1). Прямая, перпендикулярная ей, будет также проходить по диагоналям, но в другом направлении (при смещении на одну клетку вправо происходит смещение на одну клетку вверх). Проведем через точку P такую прямую.
2. Найдем расстояние от точки P до прямой a.Двигаясь по построенному перпендикуляру от точки P, мы дойдем до точки его пересечения с прямой a (назовем ее M). Чтобы попасть из P в M, необходимо сместиться на 2 клетки вправо и на 2 клетки вверх (пройти 2 клетки по диагонали). Это расстояние (длина отрезка PM) и есть расстояние от точки P до прямой a.
3. Построим симметричную точку P'.Для нахождения симметричной точки P' нужно отложить от точки M на перпендикулярной прямой отрезок MP', равный отрезку PM, по другую сторону от прямой a. Для этого от точки M смещаемся еще на 2 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Полученная точка и будет искомой точкой P'.

Если ввести систему координат, где левый нижний угол сетки — начало координат $(0, 0)$, а одна клетка — единичный отрезок, то точка P имеет координаты $(1, 4)$, а прямая a задается уравнением $x + y = 9$. Тогда построенная точка P' будет иметь координаты $(5, 8)$.

Ответ: Результат построения показан на рисунке выше. Точка P' является искомой точкой, симметричной P относительно прямой a.