Номер 252, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

252. Точки $A (-1; 4)$, $B (5; -2)$ и $C (-6; -1)$ являются вершинами параллелограмма ABCD. При параллельном переносе образом точки A является точка $A_1 (2; -7)$. Найдите образы точек B, C и D при этом параллельном переносе.

252. Точки $A (-1; 4)$, $B (5; -2)$ и $C (-6; -1)$ являются вершинами параллелограмма $ABCD$. При параллельном переносе образом точки $A$ является точка $A_1 (2; -7)$. Найдите образы точек $B$, $C$ и $D$ при этом параллельном переносе.

Для нахождения образов точек B, C и D при заданном параллельном переносе, необходимо выполнить два предварительных шага: найти вектор параллельного переноса и определить координаты четвертой вершины параллелограмма, точки D.

1. Нахождение вектора параллельного переноса.

Параллельный перенос, который переводит точку $M(x; y)$ в точку $M'(x'; y')$, задается формулами $x' = x + a$ и $y' = y + b$, где $\vec{p}(a; b)$ — вектор переноса. По условию, точка $A(-1; 4)$ переходит в точку $A_1(2; -7)$. Найдем $a$ и $b$:

$2 = -1 + a \implies a = 2 - (-1) = 3$

$-7 = 4 + b \implies b = -7 - 4 = -11$

Таким образом, вектор параллельного переноса $\vec{p}$ имеет координаты $(3; -11)$.

2. Нахождение координат вершины D.

В параллелограмме $ABCD$ векторы, образованные противоположными сторонами, равны, например, $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (5 - (-1); -2 - 4) = (6; -6)$

Пусть координаты точки $D$ равны $(x_D; y_D)$. Тогда координаты вектора $\vec{DC}$:

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D) = (-6 - x_D; -1 - y_D)$

Приравнивая соответствующие координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 6 = -6 - x_D \\ -6 = -1 - y_D \end{cases}$

Из первого уравнения находим $x_D$: $x_D = -6 - 6 = -12$.

Из второго уравнения находим $y_D$: $y_D = -1 - (-6) = 5$.

Координаты вершины $D$ равны $(-12; 5)$.

Теперь мы можем найти образы точек B, C и D, применив к их координатам вектор переноса $(3; -11)$.

Образ точки B

Найдем образ $B_1(x'; y')$ для точки $B(5; -2)$.

$x' = x_B + a = 5 + 3 = 8$

$y' = y_B + b = -2 + (-11) = -13$

Ответ: $B_1(8; -13)$.

Образ точки C

Найдем образ $C_1(x'; y')$ для точки $C(-6; -1)$.

$x' = x_C + a = -6 + 3 = -3$

$y' = y_C + b = -1 + (-11) = -12$

Ответ: $C_1(-3; -12)$.

Образ точки D

Найдем образ $D_1(x'; y')$ для точки $D(-12; 5)$.

$x' = x_D + a = -12 + 3 = -9$

$y' = y_D + b = 5 + (-11) = -6$

Ответ: $D_1(-9; -6)$.