Номер 266, страница 31 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

266. Осями симметрии ромба являются прямые $x = -2$ и $y = 1$. Двумя его соседними вершинами являются точки $A (-2; 3)$ и $B (2; 1)$. Найдите координаты остальных вершин ромба.

266. Осями симметрии ромба являются прямые $x = -2$ и $y = 1$. Двумя его соседними вершинами являются точки $A (-2; 3)$ и $B (2; 1)$. Найдите координаты остальных вершин ромба.

Осями симметрии ромба являются прямые, на которых лежат его диагонали. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и пересекаются в его центре. В данном случае оси симметрии — это прямые $x = -2$ и $y = 1$.

Найдем точку пересечения осей симметрии, которая является центром ромба $O$. Решая систему уравнений:

$\begin{cases} x = -2 \\ y = 1 \end{cases}$

Получаем координаты центра ромба $O(-2; 1)$.

Центр ромба является серединой отрезков, соединяющих противоположные вершины. Пусть вершины ромба, идущие по порядку, — это $A, B, C, D$. По условию, $A(-2; 3)$ и $B(2; 1)$ — соседние вершины. Это означает, что вершина $C$ противоположна вершине $A$, а вершина $D$ противоположна вершине $B$. Таким образом, точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$.

Найдем координаты вершины $C(x_C; y_C)$, зная, что $O$ — середина $AC$:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} \Rightarrow -2 = \frac{-2 + x_C}{2}$

$-4 = -2 + x_C$

$x_C = -2$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} \Rightarrow 1 = \frac{3 + y_C}{2}$

$2 = 3 + y_C$

$y_C = -1$

Таким образом, координаты вершины $C$ — $(-2; -1)$.

Теперь найдем координаты вершины $D(x_D; y_D)$, зная, что $O$ — середина $BD$:

$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} \Rightarrow -2 = \frac{2 + x_D}{2}$

$-4 = 2 + x_D$

$x_D = -6$

$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} \Rightarrow 1 = \frac{1 + y_D}{2}$

$2 = 1 + y_D$

$y_D = 1$

Таким образом, координаты вершины $D$ — $(-6; 1)$.

Итак, остальные вершины ромба — это $C(-2; -1)$ и $D(-6; 1)$.

Ответ: $(-2; -1)$ и $(-6; 1)$.