Номер 234, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

234. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = \vec{m} + 3\vec{n}$ и $\vec{b} = 2\vec{m} - \vec{n}$, если $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$ и $\vec{m} \perp \vec{n}$.

234. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = \vec{m} + 3\vec{n}$ и $\vec{b} = 2\vec{m} - \vec{n}$, если $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$ и $\vec{m} \perp \vec{n}$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется по формуле скалярного произведения:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — их длины (модули).

Нам даны векторы $\vec{a} = \vec{m} + 3\vec{n}$ и $\vec{b} = 2\vec{m} - \vec{n}$, а также условия: $|\vec{m}| = 1$, $|\vec{n}| = 1$ и $\vec{m} \perp \vec{n}$.

Условие перпендикулярности векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ означает, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$.

Для нахождения косинуса угла выполним три шага.

1. Вычислим скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$

Используя свойства скалярного произведения, раскроем скобки:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (2\vec{m} - \vec{n}) = \vec{m} \cdot (2\vec{m}) - \vec{m} \cdot \vec{n} + (3\vec{n}) \cdot (2\vec{m}) - (3\vec{n}) \cdot \vec{n}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2(\vec{m} \cdot \vec{m}) - \vec{m} \cdot \vec{n} + 6(\vec{n} \cdot \vec{m}) - 3(\vec{n} \cdot \vec{n})$

Зная, что $\vec{m} \cdot \vec{m} = |\vec{m}|^2$, $\vec{n} \cdot \vec{n} = |\vec{n}|^2$ и $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$, подставим заданные значения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2|\vec{m}|^2 + 5(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 3|\vec{n}|^2 = 2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 0 - 3 \cdot 1^2 = 2 - 3 = -1$.

2. Вычислим длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$

Длина вектора - это корень квадратный из его скалярного квадрата ($|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}^2} = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}$). Найдем квадраты длин векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$|\vec{a}|^2 = (\vec{m} + 3\vec{n})^2 = (\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (\vec{m} + 3\vec{n}) = |\vec{m}|^2 + 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 9|\vec{n}|^2$

Подставляем известные значения:

$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 6 \cdot 0 + 9 \cdot 1^2 = 1 + 9 = 10$.

Следовательно, длина вектора $\vec{a}$ равна $|\vec{a}| = \sqrt{10}$.

Аналогично для вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}|^2 = (2\vec{m} - \vec{n})^2 = (2\vec{m} - \vec{n}) \cdot (2\vec{m} - \vec{n}) = 4|\vec{m}|^2 - 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) + |\vec{n}|^2$

Подставляем известные значения:

$|\vec{b}|^2 = 4 \cdot 1^2 - 4 \cdot 0 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.

Следовательно, длина вектора $\vec{b}$ равна $|\vec{b}| = \sqrt{5}$.

3. Найдем косинус угла между векторами

Теперь подставим все найденные значения в исходную формулу:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{-1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{50}}$

Упростим знаменатель: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

$\cos(\alpha) = \frac{-1}{5\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\cos(\alpha) = \frac{-1 \cdot \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = -\frac{\sqrt{2}}{10}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{10}$.