Номер 126, страница 80 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен $6\sqrt{3}$ см. На стороне этого треугольника как на диаметре построен полукруг, лежащий в той же полуплоскости, что и треугольник. Определите площадь части треугольника, находящейся вне полукруга.

126. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен $6\sqrt{3}$ см. На стороне этого треугольника как на диаметре построен полукруг, лежащий в той же полуплоскости, что и треугольник. Определите площадь части треугольника, находящейся вне полукруга.

Для решения задачи нам нужно найти площадь правильного треугольника, а затем вычесть из нее площадь той его части, которая находится внутри полукруга.

1. Нахождение стороны и площади правильного треугольника

Связь между радиусом $R$ описанной окружности и стороной $a$ правильного (равностороннего) треугольника выражается формулой:$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Из этой формулы выразим сторону треугольника $a$:$a = R \cdot \sqrt{3}$

Подставим данное значение радиуса $R = 6\sqrt{3}$ см:$a = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18$ см.

Теперь найдем площадь правильного треугольника $S_{\triangle}$ по формуле:$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$S_{\triangle} = \frac{18^2\sqrt{3}}{4} = \frac{324\sqrt{3}}{4} = 81\sqrt{3}$ см².

2. Нахождение площади части треугольника, лежащей внутри полукруга

Пусть наш правильный треугольник — это $\triangle ABC$, а полукруг построен на стороне $AB$ как на диаметре. Центр полукруга $O$ будет являться серединой стороны $AB$. Диаметр полукруга равен стороне треугольника $a = 18$ см, следовательно, его радиус $r$ равен:$r = \frac{a}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Полукруг пересекает стороны треугольника $AC$ и $BC$ в некоторых точках, назовем их $D$ и $E$ соответственно. Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной отрезками $AD$, $BE$, $AB$ и дугой $DE$. Эту площадь ($S_{внутр}$) можно разложить на три части: площадь треугольника $\triangle OAD$, площадь треугольника $\triangle OBE$ и площадь сектора $DOE$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAD$.

• $OA$ — это половина стороны $AB$, то есть $OA = r = 9$ см.
• $OD$ — это радиус полукруга, так как точка $D$ лежит на дуге, поэтому $OD = r = 9$ см.
• Угол $\angle OAD$ (он же $\angle CAB$) — это угол правильного треугольника, он равен $60^\circ$.

Так как $\triangle OAD$ является равнобедренным ($OA=OD$) с углом при основании $60^\circ$, то он является равносторонним. Все его углы равны $60^\circ$.

Площадь равностороннего треугольника $\triangle OAD$ со стороной 9 см равна:$S_{\triangle OAD} = \frac{9^2\sqrt{3}}{4} = \frac{81\sqrt{3}}{4}$ см².

Аналогично, треугольник $\triangle OBE$ также является равносторонним со стороной 9 см, и его площадь:$S_{\triangle OBE} = \frac{81\sqrt{3}}{4}$ см².

Теперь найдем центральный угол сектора $DOE$. Угол $\angle AOB$ является развернутым и равен $180^\circ$. Он состоит из трех углов: $\angle AOD$, $\angle DOE$ и $\angle EOB$. Так как треугольники $\triangle OAD$ и $\triangle OBE$ равносторонние, то $\angle AOD = 60^\circ$ и $\angle EOB = 60^\circ$.Тогда:$\angle DOE = \angle AOB - \angle AOD - \angle EOB = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.

Площадь сектора $DOE$ с радиусом $r=9$ см и центральным углом $60^\circ$ равна:$S_{сектор DOE} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi r^2 = \frac{1}{6} \pi \cdot 9^2 = \frac{81\pi}{6} = \frac{27\pi}{2}$ см².

Общая площадь части треугольника, находящейся внутри полукруга, равна сумме площадей этих трех фигур:$S_{внутр} = S_{\triangle OAD} + S_{\triangle OBE} + S_{сектор DOE} = \frac{81\sqrt{3}}{4} + \frac{81\sqrt{3}}{4} + \frac{27\pi}{2} = \frac{162\sqrt{3}}{4} + \frac{27\pi}{2} = \frac{81\sqrt{3}}{2} + \frac{27\pi}{2}$ см².

3. Вычисление искомой площади

Искомая площадь $S$ — это площадь части треугольника, находящаяся вне полукруга. Она равна разности площади всего треугольника и площади его части внутри полукруга:$S = S_{\triangle} - S_{внутр}$

$S = 81\sqrt{3} - \left(\frac{81\sqrt{3}}{2} + \frac{27\pi}{2}\right) = 81\sqrt{3} - \frac{81\sqrt{3}}{2} - \frac{27\pi}{2}$

Приводя подобные слагаемые, получаем:$S = \frac{162\sqrt{3} - 81\sqrt{3}}{2} - \frac{27\pi}{2} = \frac{81\sqrt{3}}{2} - \frac{27\pi}{2} = \frac{81\sqrt{3} - 27\pi}{2}$ см².

Результат также можно записать в виде:$S = \frac{27}{2}(3\sqrt{3} - \pi)$ см².

Ответ: $\frac{27}{2}(3\sqrt{3} - \pi)$ см².