Номер 119, страница 79 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Длина окружности. Площадь круга. Вариант 3. Упражнения - номер 119, страница 79.

Условие 2017.

119. В треугольнике $ABC$ $AB = 6$ см, $\angle A = 30^{\circ}$, $\angle B = 80^{\circ}$. Окружность с центром $B$ касается стороны $AC$. Найдите длину дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику.

Условие 2021.

119. В треугольнике $ABC$ $AB = 6$ см, $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 80^\circ$. Окружность с центром $B$ касается стороны $AC$. Найдите длину дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику.

Решение.

Решение 2 (2021).

Пусть дана окружность с центром в точке $B$ и радиусом $R$. По условию, эта окружность касается стороны $AC$. Расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу. Опустим перпендикуляр $BH$ из точки $B$ на сторону $AC$. Длина этого перпендикуляра и будет радиусом окружности: $R = BH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (где $\angle H = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известна гипотенуза $AB = 6$ см и угол $\angle A = 30^\circ$. Катет $BH$ лежит напротив угла в $30^\circ$.

Найдем радиус $R$, используя определение синуса:
$\sin(\angle A) = \frac{BH}{AB}$
$R = BH = AB \cdot \sin(\angle A)$
$R = 6 \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

Дуга окружности, принадлежащая треугольнику $ABC$, является частью окружности, заключенной между сторонами $AB$ и $BC$. Центральный угол, стягивающий эту дугу, равен углу $\angle B$ треугольника $ABC$. По условию, $\angle B = 80^\circ$.

Длину дуги $L$ можно найти по формуле:
$L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R$
где $\alpha$ — центральный угол в градусах, а $R$ — радиус окружности.

Подставим наши значения $\alpha = \angle B = 80^\circ$ и $R = 3$ см:
$L = \frac{80}{360} \cdot 2\pi \cdot 3 = \frac{8}{36} \cdot 6\pi = \frac{2}{9} \cdot 6\pi = \frac{12\pi}{9} = \frac{4\pi}{3}$ см.

Ответ: $\frac{4\pi}{3}$ см.