Номер 124, страница 80 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. Найдите площадь круга, вписанного в сектор круга радиуса 20 см с хордой 10 см.

124. Найдите площадь круга, вписанного в сектор круга радиуса 20 см с хордой 10 см.

Пусть $R$ — радиус сектора, $L$ — длина хорды, $r$ — радиус вписанного в сектор круга. По условию, $R = 20$ см и $L = 10$ см. Необходимо найти площадь вписанного круга $S = \pi r^2$.

Обозначим сектор как $AOB$, где $O$ — центр большого круга (вершина сектора), а $A$ и $B$ — концы дуги. Тогда $OA = OB = R = 20$ см. Хорда, стягивающая дугу, это отрезок $AB$, длина которого $L = 10$ см.

Пусть вписанный круг имеет центр в точке $C$ и радиус $r$. Вписанный круг касается двух радиусов $OA$, $OB$ и дуги $AB$. Из симметрии следует, что центр $C$ лежит на биссектрисе угла $\angle AOB$. Эта биссектриса также является высотой и медианой равнобедренного треугольника $AOB$, проведенной к основанию $AB$.

Поскольку вписанный круг касается радиуса $OA$ (например, в точке $K$), то отрезок $CK$ перпендикулярен $OA$ и его длина равна радиусу $r$, то есть $CK = r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OCK$. Обозначим половину угла сектора $\angle AOB$ как $\alpha$. То есть $\angle KOC = \alpha$. В этом треугольнике гипотенуза $OC$ соединяет центр сектора и центр вписанного круга. Так как вписанный круг касается дуги, расстояние от центра $O$ до точки касания на дуге равно $R$. Это расстояние складывается из отрезков $OC$ и радиуса $r$. Таким образом, $R = OC + r$, откуда $OC = R - r = 20 - r$.

Из треугольника $OCK$ можно выразить синус угла $\alpha$:
$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CK}{OC} = \frac{r}{20-r}$.

Теперь найдем значение $\sin(\alpha)$ из параметров самого сектора. Проведем из центра $O$ высоту к хорде $AB$. Эта высота является биссектрисой угла $\angle AOB$ и медианой для хорды $AB$. Пусть $M$ — середина хорды $AB$. Тогда $AM = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAM$. В нем гипотенуза $OA = R = 20$ см, катет $AM = 5$ см, а угол $\angle AOM = \alpha$.

Из треугольника $OAM$ находим $\sin(\alpha)$:
$\sin(\alpha) = \frac{AM}{OA} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для $\sin(\alpha)$ и найти радиус $r$:
$\frac{r}{20-r} = \frac{1}{4}$.

Решим это уравнение:
$4r = 1 \cdot (20-r)$
$4r = 20 - r$
$5r = 20$
$r = 4$ см.

Радиус вписанного круга найден. Теперь вычислим его площадь по формуле $S = \pi r^2$:
$S = \pi \cdot (4)^2 = 16\pi$ см².

Ответ: $16\pi$ см².