Номер 130, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

130. Радиус круга равен 2 см. По разные стороны от центра круга проведены две параллельные хорды, равные соответственно сторонам правильного треугольника и правильного шестиугольника, вписанных в данный круг. Найдите площадь части круга, находящейся между хордами.

130. Радиус круга равен 2 см. По разные стороны от центра круга проведены две параллельные хорды, равные соответственно сторонам правильного треугольника и правильного шестиугольника, вписанных в данный круг. Найдите площадь части круга, находящейся между хордами.

Для решения задачи найдем площадь части круга, расположенной между двумя параллельными хордами, как разность площади всего круга и площадей двух сегментов, отсекаемых этими хордами с внешней стороны.

Данные: радиус круга $R = 2$ см.

1. Характеристики хорды, равной стороне правильного вписанного треугольника ($a_3$)

Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле $a_3 = R\sqrt{3}$.

Центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $\alpha = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.

Площадь сектора, ограниченного этой хордой и двумя радиусами, составляет:
$S_{сек1} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi R^2 = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot \pi (2)^2 = \frac{1}{3} \cdot 4\pi = \frac{4\pi}{3}$ см$^2$.

Площадь равнобедренного треугольника, образованного хордой и двумя радиусами:
$S_{\triangle 1} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha) = \frac{1}{2} (2)^2 \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь сегмента, отсекаемого этой хордой, равна разности площади сектора и площади треугольника:
$S_{сег1} = S_{сек1} - S_{\triangle 1} = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$ см$^2$.

2. Характеристики хорды, равной стороне правильного вписанного шестиугольника ($a_6$)

Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна ее радиусу: $a_6 = R = 2$ см.

Центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $\beta = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$.

Площадь сектора, ограниченного этой хордой и двумя радиусами:
$S_{сек2} = \frac{\beta}{360^\circ} \cdot \pi R^2 = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi (2)^2 = \frac{1}{6} \cdot 4\pi = \frac{2\pi}{3}$ см$^2$.

Площадь равностороннего треугольника, образованного хордой и двумя радиусами:
$S_{\triangle 2} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\beta) = \frac{1}{2} (2)^2 \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь сегмента, отсекаемого этой хордой:
$S_{сег2} = S_{сек2} - S_{\triangle 2} = \frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}$ см$^2$.

3. Нахождение площади части круга между хордами

По условию, хорды находятся по разные стороны от центра. Искомая площадь ($S$) — это площадь всего круга за вычетом площадей двух внешних сегментов ($S_{сег1}$ и $S_{сег2}$).

Площадь всего круга:
$S_{круга} = \pi R^2 = \pi (2)^2 = 4\pi$ см$^2$.

Вычисляем искомую площадь:
$S = S_{круга} - S_{сег1} - S_{сег2} = 4\pi - \left(\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}\right) - \left(\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}\right)$
$S = 4\pi - \frac{4\pi}{3} + \sqrt{3} - \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}$
$S = 4\pi - \left(\frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}\right) + 2\sqrt{3}$
$S = 4\pi - \frac{6\pi}{3} + 2\sqrt{3} = 4\pi - 2\pi + 2\sqrt{3} = 2\pi + 2\sqrt{3}$
$S = 2(\pi + \sqrt{3})$ см$^2$.

Ответ: $2(\pi + \sqrt{3})$ см$^2$.