Номер 136, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Точки $B_1 (-2; 3)$ и $A_1 (5; -1)$ — середины сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно. Вершина $B$ имеет координаты $(1; 7)$. Найдите координаты вершин $A$ и $C$.

136. Точки $B_1 (-2; 3)$ и $A_1 (5; -1)$ — середины сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно. Вершина $B$ имеет координаты $(1; 7)$. Найдите координаты вершин $A$ и $C$.

Пусть искомые вершины треугольника имеют координаты $A(x_A, y_A)$ и $C(x_C, y_C)$.

Координаты $(x_M, y_M)$ середины отрезка, концами которого являются точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Из этих формул можно выразить координаты одного из концов отрезка, если известны координаты другого конца и середины: $x_2 = 2x_M - x_1$ и $y_2 = 2y_M - y_1$.

Нахождение координат вершины C

Точка $A_1(5, -1)$ является серединой стороны $BC$. Нам известны координаты вершины $B(1, 7)$. Найдем координаты вершины $C(x_C, y_C)$.

Координата $x_C = 2x_{A_1} - x_B = 2 \cdot 5 - 1 = 10 - 1 = 9$.

Координата $y_C = 2y_{A_1} - y_B = 2 \cdot (-1) - 7 = -2 - 7 = -9$.

Таким образом, вершина $C$ имеет координаты $(9, -9)$.

Нахождение координат вершины A

Точка $B_1(-2, 3)$ является серединой стороны $AC$. Теперь, зная координаты вершины $C(9, -9)$, найдем координаты вершины $A(x_A, y_A)$.

Координата $x_A = 2x_{B_1} - x_C = 2 \cdot (-2) - 9 = -4 - 9 = -13$.

Координата $y_A = 2y_{B_1} - y_C = 2 \cdot 3 - (-9) = 6 + 9 = 15$.

Таким образом, вершина $A$ имеет координаты $(-13, 15)$.

Ответ: $A(-13; 15)$, $C(9; -9)$.