Номер 129, страница 80 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Длина окружности. Площадь круга. Вариант 3. Упражнения - номер 129, страница 80.

Условие 2017.

129. Радиус круга равен 12 см. В нём проведена хорда, равная стороне правильного шестиугольника, вписанного в этот круг. Найдите площадь большего из сегментов, основанием которых является эта хорда.

Условие 2021.

129. Радиус круга равен 12 см. В нём проведена хорда, равная стороне правильного шестиугольника, вписанного в этот круг. Найдите площадь большего из сегментов, основанием которых является эта хорда.

Решение.

Решение 2 (2021).

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного шестиугольника, вписанного в окружность, а также формулами для площади сектора и треугольника.

1. Определение длины хорды и центрального угла

По условию, радиус круга $R = 12$ см. Хорда равна стороне правильного шестиугольника, вписанного в этот круг. Из геометрии известно, что сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности. Обозначим длину хорды как $a$. Таким образом, длина хорды равна радиусу:

$a = R = 12$ см.

Рассмотрим треугольник, образованный этой хордой и двумя радиусами, проведенными к ее концам. Стороны этого треугольника равны $R$, $R$ и $a$. Поскольку $a = R$, все три стороны треугольника равны 12 см, а значит, он является равносторонним. Центральный угол $\alpha$, стягиваемый этой хордой, является углом в равностороннем треугольнике и, следовательно, равен $60^\circ$.

2. Вычисление площади большего сегмента

Любая хорда делит круг на два сегмента. Площадь большего из этих сегментов можно найти как сумму площади большего кругового сектора и площади треугольника, образованного хордой и радиусами.

Центральный угол, соответствующий большему сектору, составляет $360^\circ - \alpha = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$.

Площадь этого большего сектора ($S_{сект}$) вычисляется по формуле:

$S_{сект} = \frac{300}{360} \cdot \pi R^2 = \frac{5}{6} \cdot \pi \cdot (12)^2 = \frac{5}{6} \cdot 144\pi = 5 \cdot 24\pi = 120\pi$ см².

Площадь равностороннего треугольника ($S_{\triangle}$) со стороной $a=12$ см вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ см².

Площадь искомого большего сегмента ($S_{сегм}$) равна сумме площади большего сектора и площади треугольника:

$S_{сегм} = S_{сект} + S_{\triangle} = 120\pi + 36\sqrt{3}$ см².

Ответ: $(120\pi + 36\sqrt{3})$ см².