Номер 128, страница 80 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. Найдите площадь кругового сегмента, если его основание равно 8 см, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) $60^\circ$;

2) $225^\circ$.

128. Найдите площадь кругового сегмента, если его основание равно 8 см, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) $60^\circ$;

2) $225^\circ$.

Площадь кругового сегмента ($S_{сегмента}$) вычисляется как разность или сумма площади кругового сектора ($S_{сектора}$) и площади треугольника ($S_{треугольника}$), образованного радиусами и хордой (основанием сегмента).

• Если центральный угол, стягиваемый дугой, $\alpha < 180°$, то площадь сегмента равна $S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треугольника}$.
• Если центральный угол $\alpha > 180°$, то это большой сегмент, и его площадь равна $S_{сегмента} = S_{сектора} + S_{треугольника}$.

Длина хорды $c$ связана с радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$, соответствующим этой хорде, по формуле $c = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$.

1) 60°

Дано: основание (хорда) $c = 8$ см, градусная мера дуги $\alpha = 60°$.Поскольку угол дуги меньше 180°, мы ищем площадь малого сегмента. Его площадь равна разности площади сектора и площади треугольника.

1. Найдем радиус окружности $R$.Рассмотрим треугольник, образованный двумя радиусами и хордой. Этот треугольник равнобедренный, а угол между радиусами равен центральному углу, то есть $\alpha = 60°$. Равнобедренный треугольник с углом 60° при вершине является равносторонним. Следовательно, длина хорды равна радиусу:$R = c = 8$ см.

2. Найдем площадь кругового сектора.Площадь сектора вычисляется по формуле $S_{сектора} = \frac{\alpha}{360°} \pi R^2$.$S_{сектора} = \frac{60°}{360°} \pi \cdot 8^2 = \frac{1}{6} \cdot 64\pi = \frac{32\pi}{3}$ см².

3. Найдем площадь треугольника.Так как треугольник равносторонний со стороной 8 см, его площадь можно найти по формуле $S_{треугольника} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, где $a$ – сторона треугольника.$S_{треугольника} = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$ см².

4. Найдем площадь кругового сегмента.$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треугольника} = \frac{32\pi}{3} - 16\sqrt{3}$ см².

Ответ: $S = \frac{32\pi}{3} - 16\sqrt{3}$ см².

2) 225°

Дано: основание (хорда) $c = 8$ см, градусная мера дуги $\alpha_{сегм} = 225°$.Поскольку угол дуги больше 180°, мы ищем площадь большого сегмента. Его площадь равна сумме площади сектора и площади треугольника. Центральный угол, соответствующий треугольнику, образованному радиусами и хордой, равен $\alpha_{тр} = 360° - 225° = 135°$.

1. Найдем радиус окружности $R$.Используем формулу длины хорды $c = 2R \sin(\frac{\alpha_{тр}}{2})$.$8 = 2R \sin(\frac{135°}{2})$$R = \frac{4}{\sin(67.5°)}$Для вычисления $\sin(67.5°)$ используем формулу половинного угла $\sin(\frac{x}{2})=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$:$\sin(67.5°) = \sqrt{\frac{1-\cos(135°)}{2}} = \sqrt{\frac{1-(-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.Тогда радиус:$R = \frac{4}{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$.Найдем квадрат радиуса для дальнейших вычислений:$R^2 = (\frac{8}{\sqrt{2+\sqrt{2}}})^2 = \frac{64}{2+\sqrt{2}} = \frac{64(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{64(2-\sqrt{2})}{4-2} = 32(2-\sqrt{2})$.

2. Найдем площадь кругового сектора.Площадь сектора соответствует дуге в 225°.$S_{сектора} = \frac{\alpha_{сегм}}{360°} \pi R^2 = \frac{225°}{360°} \pi \cdot 32(2-\sqrt{2})$.Сократим дробь $\frac{225}{360} = \frac{5 \cdot 45}{8 \cdot 45} = \frac{5}{8}$.$S_{сектора} = \frac{5}{8} \pi \cdot 32(2-\sqrt{2}) = 5 \pi \cdot 4(2-\sqrt{2}) = 20\pi(2-\sqrt{2})$ см².

3. Найдем площадь треугольника.Угол при вершине треугольника $\alpha_{тр} = 135°$.$S_{треугольника} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha_{тр}) = \frac{1}{2} \cdot 32(2-\sqrt{2}) \cdot \sin(135°)$.Так как $\sin(135°) = \sin(180°-45°) = \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:$S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 32(2-\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}(2-\sqrt{2}) = 16\sqrt{2} - 8 \cdot 2 = 16\sqrt{2} - 16 = 16(\sqrt{2}-1)$ см².

4. Найдем площадь кругового сегмента.$S_{сегмента} = S_{сектора} + S_{треугольника} = 20\pi(2-\sqrt{2}) + 16(\sqrt{2}-1)$ см².

Ответ: $S = 20\pi(2-\sqrt{2}) + 16(\sqrt{2}-1)$ см².