Номер 125, страница 80 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

125. Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке 60 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 60

a

B C

4

A D

4

б

B

$60^\circ$

A $60^\circ$ C

2 1 1

в

1

$O_3$

3

$O_1$

2

$O_2$

125. Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке 60 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 60

a

б

а
Заштрихованная фигура — это часть квадрата $ABCD$ со стороной 4, из которой вырезаны два незаштрихованных участка. Площадь квадрата равна $S_{\text{квадрата}} = 4^2 = 16$ см².
Первый незаштрихованный участок — это сектор круга с центром в точке $C$ и радиусом $R=4$. Этот сектор является четвертью круга, его площадь $S_1 = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi (4^2) = 4\pi$ см².
Второй незаштрихованный участок — это круг, касающийся сторон $AB$, $AD$ и дуги $BD$ сектора.
Для нахождения радиуса $r$ этого круга введём систему координат с началом в точке $A(0,0)$. Тогда вершины квадрата будут иметь координаты $A(0,0)$, $B(0,4)$, $D(4,0)$ и $C(4,4)$.
Центр малого круга, касающегося осей $x$ ($AD$) и $y$ ($AB$), будет иметь координаты $O(r,r)$.
Большой круг, частью которого является дуга $BD$, имеет центр в точке $C(4,4)$ и радиус $R=4$.
Малый круг находится в "углу" квадрата, ограниченном сторонами $AB$, $AD$ и дугой $BD$, то есть он находится вне большого круга. Расстояние от центра малого круга $O(r,r)$ до ближайшей точки на большом круге равно радиусу малого круга $r$. Это расстояние также равно разности между расстоянием от $O$ до $C$ и радиусом $R$.
Расстояние между центрами $O(r,r)$ и $C(4,4)$:
$OC = \sqrt{(4-r)^2 + (4-r)^2} = \sqrt{2(4-r)^2} = (4-r)\sqrt{2}$ (поскольку $r<4$).
Приравниваем радиус $r$ к расстоянию от точки $O$ до большого круга:
$r = OC - R = (4-r)\sqrt{2} - 4$
$r+4 = 4\sqrt{2} - r\sqrt{2}$
$r(1+\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} - 4 = 4(\sqrt{2}-1)$
$r = \frac{4(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}+1} = \frac{4(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{4(2 - 2\sqrt{2} + 1)}{2-1} = 4(3-2\sqrt{2}) = 12 - 8\sqrt{2}$.
Площадь малого круга $S_2 = \pi r^2 = \pi (12 - 8\sqrt{2})^2 = \pi (144 - 192\sqrt{2} + 128) = \pi(272 - 192\sqrt{2})$.
Площадь заштрихованной фигуры равна площади квадрата за вычетом площадей двух незаштрихованных фигур:
$S_{\text{заштр.}} = S_{\text{квадрата}} - S_1 - S_2 = 16 - 4\pi - \pi(272 - 192\sqrt{2}) = 16 - \pi(4 + 272 - 192\sqrt{2}) = 16 - \pi(276 - 192\sqrt{2})$.
Ответ: $16 - \pi(276 - 192\sqrt{2})$ см².

б
На рисунке изображён треугольник $ABC$, у которого $\angle A = 60^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$. Следовательно, $\angle C = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$, и треугольник $ABC$ является равносторонним.
Длина основания $AC = 2 + 1 + 1 = 4$ см. Значит, все стороны треугольника равны 4 см.
Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
$S_{\triangle ABC} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см².
Площадь заштрихованной фигуры равна площади треугольника минус площади трёх незаштрихованных секторов.
1. Сектор с центром в вершине $A$. Угол сектора равен $60^\circ$, радиус $R_A = 2$ см.
Площадь сектора $S_A = \frac{60}{360} \pi R_A^2 = \frac{1}{6} \pi (2^2) = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ см².
2. Сектор с центром в вершине $C$. Угол сектора равен $60^\circ$, радиус $R_C = 1$ см.
Площадь сектора $S_C = \frac{60}{360} \pi R_C^2 = \frac{1}{6} \pi (1^2) = \frac{\pi}{6}$ см².
3. Центральный сектор представляет собой полукруг. Его центр находится на основании $AC$ на расстоянии 2 см от точки $A$, а его радиус $R_H = 1$ см.
Площадь полукруга $S_H = \frac{1}{2} \pi R_H^2 = \frac{1}{2} \pi (1^2) = \frac{\pi}{2}$ см².
Общая площадь незаштрихованной части:
$S_{\text{незаштр.}} = S_A + S_C + S_H = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}$ см².
Площадь заштрихованной фигуры:
$S_{\text{заштр.}} = S_{\triangle ABC} - S_{\text{незаштр.}} = 4\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3}$ см².
Ответ: $4\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3}$ см².

в
На рисунке изображены три взаимно касающиеся окружности с центрами $O_1, O_2, O_3$ и радиусами $r_1=3$ см, $r_2=2$ см и $r_3=1$ см соответственно.
Заштрихованная область — это криволинейный треугольник, ограниченный дугами этих окружностей. Его площадь можно найти, вычтя из площади треугольника $O_1O_2O_3$ площади секторов этих окружностей, находящихся внутри треугольника.
Найдём длины сторон треугольника $O_1O_2O_3$, которые равны суммам радиусов соответствующих окружностей:
$O_1O_2 = r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5$ см.
$O_2O_3 = r_2 + r_3 = 2 + 1 = 3$ см.
$O_3O_1 = r_3 + r_1 = 1 + 3 = 4$ см.
Мы получили треугольник со сторонами 3, 4, 5. Проверим, является ли он прямоугольным по теореме Пифагора: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Треугольник $O_1O_2O_3$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $O_3$ (напротив гипотенузы $O_1O_2$).
Площадь треугольника $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot (O_2O_3) \cdot (O_3O_1) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ см².
Теперь найдём площади секторов. Углы треугольника:
$\angle O_3 = 90^\circ = \frac{\pi}{2}$ радиан.
$\cos(\angle O_1) = \frac{O_3O_1}{O_1O_2} = \frac{4}{5}$, значит $\angle O_1 = \arccos\frac{4}{5}$.
$\cos(\angle O_2) = \frac{O_2O_3}{O_1O_2} = \frac{3}{5}$, значит $\angle O_2 = \arccos\frac{3}{5}$.
Площадь сектора вычисляется по формуле $S_{\text{сект}} = \frac{1}{2}r^2\alpha$, где $\alpha$ — угол в радианах.
$S_1$ (центр $O_1$, радиус $r_1=3$): $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 3^2 \cdot \angle O_1 = \frac{9}{2} \arccos\frac{4}{5}$.
$S_2$ (центр $O_2$, радиус $r_2=2$): $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \angle O_2 = 2 \arccos\frac{3}{5}$.
$S_3$ (центр $O_3$, радиус $r_3=1$): $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.
Суммарная площадь секторов: $S_{\text{секторов}} = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{9}{2} \arccos\frac{4}{5} + 2 \arccos\frac{3}{5} + \frac{\pi}{4}$.
Площадь заштрихованной фигуры:
$S_{\text{заштр.}} = S_{\triangle} - S_{\text{секторов}} = 6 - \left( \frac{9}{2} \arccos\frac{4}{5} + 2 \arccos\frac{3}{5} + \frac{\pi}{4} \right)$.
Ответ: $6 - \frac{9}{2} \arccos\frac{4}{5} - 2 \arccos\frac{3}{5} - \frac{\pi}{4}$ см².