Номер 118, страница 79 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. На катете BC прямоугольного треугольника ABC ($ \angle C = 90^\circ $) как на диаметре построена полуокружность, которая пересекает гипотенузу. Найдите длину дуги этой полуокружности, расположенной вне треугольника, если $ \angle B = 54^\circ $, $ BC = 8 \text{ см} $.

118. На катете $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) как на диаметре построена полуокружность, которая пересекает гипотенузу. Найдите длину дуги этой полуокружности, расположенной вне треугольника, если $\angle B = 54^\circ$, $BC = 8$ см.

Обозначим центр полуокружности как точку O. Так как катет BC является диаметром, точка O — это середина BC. Радиус полуокружности R равен половине длины диаметра: $R = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Пусть полуокружность пересекает гипотенузу AB в точке D (помимо точки B). Таким образом, вся дуга полуокружности делится на две части: дугу BD и дугу CD. Часть дуги, примыкающая к вершине острого угла B (дуга BD), находится внутри треугольника. Соответственно, под дугой, расположенной вне треугольника, будем понимать дугу CD.

Для вычисления длины дуги CD необходимо найти величину соответствующего ей центрального угла $\angle COD$.

Рассмотрим треугольник BOD. Стороны OB и OD являются радиусами полуокружности, поэтому $OB = OD = R$. Следовательно, треугольник BOD является равнобедренным с основанием BD.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle ODB = \angle OBD$. Угол $\angle OBD$ — это угол $\angle B$ треугольника ABC, то есть $\angle OBD = 54^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол при вершине O в треугольнике BOD: $\angle BOD = 180^\circ - (\angle OBD + \angle ODB) = 180^\circ - (54^\circ + 54^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

Поскольку точки B, O, C лежат на одной прямой (диаметре), угол $\angle BOC$ является развернутым и равен $180^\circ$. Он складывается из двух смежных углов: $\angle BOD$ и $\angle COD$. $\angle BOD + \angle COD = 180^\circ$.

Отсюда находим центральный угол $\angle COD$, стягивающий дугу CD: $\angle COD = 180^\circ - \angle BOD = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

Длина дуги окружности вычисляется по формуле $L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$, где $\alpha$ — градусная мера центрального угла. Подставим наши значения: $L_{CD} = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 108}{180} = \frac{432\pi}{180}$.

Сократим полученную дробь: $\frac{432}{180} = \frac{12 \cdot 36}{5 \cdot 36} = \frac{12}{5}$.

Таким образом, длина дуги равна $\frac{12\pi}{5}$ см.

Ответ: $\frac{12\pi}{5}$ см.