Номер 117, страница 79 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

117. Длина первой окружности, радиус которой 12 см, равна длине дуги второй окружности, градусная мера которой 135°. Найдите радиус второй окружности.

117. Длина первой окружности, радиус которой 12 см, равна длине дуги второй окружности, градусная мера которой $135^\circ$. Найдите радиус второй окружности.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти длину первой окружности. Формула для вычисления длины окружности (C) через её радиус (r) имеет вид: $C = 2\pi r$. Радиус первой окружности $r_1 = 12$ см. Подставим значение радиуса в формулу: $C_1 = 2 \cdot \pi \cdot 12 = 24\pi$ см.

2. Использовать условие, что длина первой окружности равна длине дуги второй окружности. Обозначим длину дуги второй окружности как $L_2$. По условию задачи, $L_2 = C_1$, следовательно, $L_2 = 24\pi$ см.

3. Найти радиус второй окружности. Формула для вычисления длины дуги окружности (L) через её радиус (R) и градусную меру дуги ($\alpha$) имеет вид: $L = \frac{2\pi R \cdot \alpha}{360^\circ}$. Обозначим радиус второй окружности как $r_2$. Градусная мера дуги второй окружности $\alpha = 135^\circ$. Мы знаем, что $L_2 = 24\pi$ см. Подставим все известные значения в формулу: $24\pi = \frac{2\pi r_2 \cdot 135^\circ}{360^\circ}$.

4. Решить полученное уравнение относительно $r_2$. Сначала сократим дробь $\frac{135}{360}$. Разделим числитель и знаменатель на 45: $\frac{135}{360} = \frac{3}{8}$. Теперь уравнение выглядит так: $24\pi = 2\pi r_2 \cdot \frac{3}{8}$. Разделим обе части уравнения на $2\pi$: $12 = r_2 \cdot \frac{3}{8}$. Чтобы найти $r_2$, умножим обе части на $\frac{8}{3}$: $r_2 = 12 \cdot \frac{8}{3}$. $r_2 = \frac{12 \cdot 8}{3} = 4 \cdot 8 = 32$. Следовательно, радиус второй окружности равен 32 см.

Ответ: 32 см.