Номер 132, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

132. Докажите, что точки $A(1; 3)$, $B(-2; -3)$ и $C(3; 7)$ лежат на одной прямой. Какая из точек лежит между двумя другими?

132. Докажите, что точки A $(1; 3)$, B $(-2; -3)$ и C $(3; 7)$ лежат на одной прямой. Какая из точек лежит между двумя другими?

Для решения этой задачи можно использовать несколько подходов.

Докажите, что точки A(1; 3), B(-2; -3) и C(3; 7) лежат на одной прямой.

Способ 1: Через уравнение прямой

Сначала составим уравнение прямой, проходящей через две из данных точек, например, через A и B. Уравнение прямой, проходящей через точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно записать в виде:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек A(1; 3) и B(-2; -3):
$\frac{x - 1}{-2 - 1} = \frac{y - 3}{-3 - 3}$
$\frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 3}{-6}$

Упростим полученное уравнение, умножив обе части на -6:
$2(x - 1) = y - 3$
$2x - 2 = y - 3$
$y = 2x + 1$

Теперь проверим, удовлетворяют ли координаты точки C(3; 7) этому уравнению. Подставим $x=3$ и $y=7$ в уравнение прямой:
$7 = 2 \cdot 3 + 1$
$7 = 6 + 1$
$7 = 7$

Равенство верное, значит, точка C принадлежит прямой, проходящей через точки A и B. Следовательно, все три точки лежат на одной прямой.

Способ 2: Через расстояния между точками

Три точки лежат на одной прямой, если длина самого большого отрезка, соединяющего эти точки, равна сумме длин двух других отрезков. Найдем длины отрезков AB, BC и AC по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Длина отрезка AB:
$|AB| = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

Длина отрезка AC:
$|AC| = \sqrt{(3 - 1)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

Длина отрезка BC:
$|BC| = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (7 - (-3))^2} = \sqrt{(3 + 2)^2 + (7 + 3)^2} = \sqrt{5^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$

Теперь проверим, выполняется ли равенство. Сравним сумму длин двух меньших отрезков с длиной большего:
$|AB| + |AC| = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$
Так как $|AB| + |AC| = |BC|$, точки A, B и C лежат на одной прямой.

Ответ: Доказано, что точки A, B и C лежат на одной прямой.

Какая из точек лежит между двумя другими?

Из равенства $|AB| + |AC| = |BC|$, полученного во втором способе, следует, что отрезок BC является суммой отрезков AB и AC. Это возможно только в том случае, если точка A лежит на отрезке BC, то есть между точками B и C.

Другой способ — сравнить координаты точек.
Расположим абсциссы (координаты x) точек в порядке возрастания: -2 (точка B), 1 (точка A), 3 (точка C).
Расположим ординаты (координаты y) точек в порядке возрастания: -3 (точка B), 3 (точка A), 7 (точка C).

Поскольку и по оси X, и по оси Y точка А находится между точками B и C, можно сделать вывод, что точка A лежит между двумя другими.

Ответ: Точка А лежит между точками B и C.