Номер 139, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

139. На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек $A(-4; 1)$ и $B(2; -5)$.

139. На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек $A(-4; 1)$ и $B(2; -5)$.

Пусть искомая точка C лежит на оси абсцисс. Это означает, что её ордината (координата y) равна нулю. Таким образом, координаты точки C можно записать как $(x; 0)$.

По условию задачи, точка C равноудалена от точек A(-4; 1) и B(2; -5). Это значит, что расстояние AC равно расстоянию BC, или $AC = BC$. Для удобства вычислений будем использовать квадраты расстояний: $AC^2 = BC^2$.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ имеет вид: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Найдем квадрат расстояния от точки C(x; 0) до точки A(-4; 1):
$AC^2 = (x - (-4))^2 + (0 - 1)^2 = (x + 4)^2 + (-1)^2 = x^2 + 8x + 16 + 1 = x^2 + 8x + 17$.

Теперь найдем квадрат расстояния от точки C(x; 0) до точки B(2; -5):
$BC^2 = (x - 2)^2 + (0 - (-5))^2 = (x - 2)^2 + 5^2 = x^2 - 4x + 4 + 25 = x^2 - 4x + 29$.

Приравняем квадраты расстояний $AC^2$ и $BC^2$ и решим полученное уравнение относительно x:

$x^2 + 8x + 17 = x^2 - 4x + 29$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:

$8x + 17 = -4x + 29$

Перенесем слагаемые с x в одну сторону, а числа — в другую:

$8x + 4x = 29 - 17$

$12x = 12$

$x = 1$

Таким образом, абсцисса искомой точки равна 1. Поскольку точка лежит на оси абсцисс, её ордината равна 0. Координаты искомой точки — (1; 0).

Ответ: (1; 0).