Номер 146, страница 82 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках $A (2; 4)$, $B (3; 7)$, $C (6; 6)$ и $D (5; 3)$ является квадратом.

146. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (2; 4)$, $B (3; 7)$, $C (6; 6)$ и $D (5; 3)$ является квадратом.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является квадратом, необходимо установить, что все его стороны равны, а также что его диагонали равны.

Для нахождения длин отрезков воспользуемся формулой расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

1. Вычислим длины сторон четырёхугольника ABCD с вершинами в точках A(2; 4), B(3; 7), C(6; 6) и D(5; 3).

• Длина стороны AB: $AB = \sqrt{(3-2)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$.
• Длина стороны BC: $BC = \sqrt{(6-3)^2 + (6-7)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$.
• Длина стороны CD: $CD = \sqrt{(5-6)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$.
• Длина стороны DA: $DA = \sqrt{(2-5)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$.

Так как $AB = BC = CD = DA = \sqrt{10}$, все стороны четырёхугольника равны. Это означает, что ABCD является ромбом.

2. Вычислим длины диагоналей AC и BD.

• Длина диагонали AC: $AC = \sqrt{(6-2)^2 + (6-4)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20}$.
• Длина диагонали BD: $BD = \sqrt{(5-3)^2 + (3-7)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}$.

Так как $AC = BD = \sqrt{20}$, диагонали четырёхугольника равны.

Поскольку у четырёхугольника ABCD все стороны равны (он является ромбом) и его диагонали равны, он является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник ABCD является квадратом.