Номер 152, страница 82 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

152. Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок $AB$, если $A (-4; 7)$, $B (2; 5)$.

152. Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если $A (-4; 7)$, $B (2; 5)$.

Уравнение окружности в общем виде имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус.

Чтобы составить уравнение, нам необходимо найти координаты центра и радиус окружности.

1. Нахождение координат центра окружности

По условию, отрезок AB является диаметром окружности. Центр окружности C является серединой ее диаметра. Координаты середины отрезка AB находятся по формулам:

$x_0 = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_0 = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим координаты точек A $(-4; 7)$ и B $(2; 5)$:

$x_0 = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_0 = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Следовательно, центр окружности C имеет координаты $(-1; 6)$.

2. Нахождение радиуса окружности

Радиус $R$ равен расстоянию от центра окружности до любой точки на ней (например, до точки A или B). Удобнее сразу найти квадрат радиуса $R^2$, так как именно он используется в уравнении. Найдем $R^2$ как квадрат расстояния между центром C $(-1; 6)$ и точкой B $(2; 5)$:

$R^2 = (x_B - x_0)^2 + (y_B - y_0)^2$

$R^2 = (2 - (-1))^2 + (5 - 6)^2$

$R^2 = (2 + 1)^2 + (-1)^2$

$R^2 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$

3. Составление уравнения окружности

Теперь, зная координаты центра $(x_0; y_0) = (-1; 6)$ и квадрат радиуса $R^2 = 10$, подставим эти значения в общее уравнение окружности:

$(x - (-1))^2 + (y - 6)^2 = 10$

$(x + 1)^2 + (y - 6)^2 = 10$

Ответ: $(x + 1)^2 + (y - 6)^2 = 10$