Номер 157, страница 83 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

157. Найдите координаты центра и радиус окружности, за- данной уравнением $x^2 + y^2 - 18x + 2y + 50 = 0$. Опреде- лите положение точек A (5; -1), B (2; 4) и C (13; -5) от- носительно этой окружности.

157. Найдите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением $x^2 + y^2 - 18x + 2y + 50 = 0$. Определите положение точек $A (5; -1)$, $B (2; 4)$ и $C (13; -5)$ относительно этой окружности.

Задача состоит из двух частей: сначала мы найдем координаты центра и радиус окружности, а затем определим положение заданных точек относительно нее.

Нахождение координат центра и радиуса окружности

Каноническое уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0)$ — это координаты центра, а $R$ — ее радиус. Чтобы найти эти параметры, приведем исходное уравнение $x^2 + y^2 - 18x + 2y + 50 = 0$ к каноническому виду с помощью метода выделения полного квадрата.

1. Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ и $y$:
$(x^2 - 18x) + (y^2 + 2y) + 50 = 0$.

2. Выделим полный квадрат для каждой группы переменных. Для этого добавим и вычтем квадраты половины коэффициентов при $x$ и $y$:
Для $x$: $x^2 - 18x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2 - 9^2 = (x - 9)^2 - 81$.
Для $y$: $y^2 + 2y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2 - 1^2 = (y + 1)^2 - 1$.

3. Подставим полученные выражения обратно в уравнение окружности:
$((x - 9)^2 - 81) + ((y + 1)^2 - 1) + 50 = 0$.

4. Упростим уравнение, чтобы привести его к каноническому виду:
$(x - 9)^2 + (y + 1)^2 - 81 - 1 + 50 = 0$
$(x - 9)^2 + (y + 1)^2 - 32 = 0$
$(x - 9)^2 + (y + 1)^2 = 32$.

Теперь из канонического уравнения мы можем определить координаты центра и радиус:
Центр окружности O имеет координаты $(x_0; y_0) = (9; -1)$.
Квадрат радиуса $R^2 = 32$, следовательно, радиус $R = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

Ответ: Координаты центра окружности (9; -1), радиус $R = 4\sqrt{2}$.

Определение положения точек A(5; -1), B(2; 4) и C(13; -5) относительно окружности

Чтобы определить положение точки относительно окружности, можно подставить ее координаты в левую часть общего уравнения окружности $x^2 + y^2 - 18x + 2y + 50 = 0$ или в выражение $(x - 9)^2 + (y + 1)^2 - 32$. Обозначим значение этого выражения как $L$.
- Если $L < 0$, точка находится внутри окружности.
- Если $L = 0$, точка лежит на окружности.
- Если $L > 0$, точка находится вне окружности.

Точка A (5; -1):
Подставляем координаты точки A:
$L_A = (5 - 9)^2 + (-1 + 1)^2 - 32 = (-4)^2 + 0^2 - 32 = 16 - 32 = -16$.
Так как $L_A < 0$, точка A лежит внутри окружности.

Точка B (2; 4):
Подставляем координаты точки B:
$L_B = (2 - 9)^2 + (4 + 1)^2 - 32 = (-7)^2 + 5^2 - 32 = 49 + 25 - 32 = 42$.
Так как $L_B > 0$, точка B лежит вне окружности.

Точка C (13; -5):
Подставляем координаты точки C:
$L_C = (13 - 9)^2 + (-5 + 1)^2 - 32 = 4^2 + (-4)^2 - 32 = 16 + 16 - 32 = 0$.
Так как $L_C = 0$, точка C лежит на окружности.

Ответ: Точка A(5; -1) находится внутри окружности, точка B(2; 4) — вне окружности, а точка C(13; -5) — на окружности.