Номер 155, страница 83 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

155. Составьте уравнение окружности, проходящей через точку $A (1; -5)$, центр которой принадлежит оси абсцисс, а радиус равен 13.

155. Составьте уравнение окружности, проходящей через точку $A(1; -5)$, центр которой принадлежит оси абсцисс, а радиус равен $13$.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

По условию задачи, центр окружности принадлежит оси абсцисс (оси Ox), следовательно, его ордината $b = 0$. Таким образом, центр окружности имеет координаты $(a; 0)$. Радиус, согласно условию, равен $R = 13$.

Подставим известные значения $b = 0$ и $R = 13$ в общее уравнение окружности:
$(x - a)^2 + (y - 0)^2 = 13^2$
$(x - a)^2 + y^2 = 169$

Известно, что окружность проходит через точку $A(1; -5)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности. Подставим $x = 1$ и $y = -5$ в полученное уравнение, чтобы найти неизвестную координату центра $a$:
$(1 - a)^2 + (-5)^2 = 169$
$(1 - a)^2 + 25 = 169$
$(1 - a)^2 = 169 - 25$
$(1 - a)^2 = 144$

Решая это уравнение, получаем два возможных значения для выражения $(1 - a)$:
$1 - a = 12$ или $1 - a = -12$.

Найдем соответствующие значения для $a$:
1) $1 - a = 12 \implies a = 1 - 12 = -11$
2) $1 - a = -12 \implies a = 1 - (-12) = 1 + 12 = 13$

Таким образом, существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи.

1. Для центра с координатами $(-11; 0)$ уравнение окружности будет:
$(x - (-11))^2 + y^2 = 169$
$(x + 11)^2 + y^2 = 169$

2. Для центра с координатами $(13; 0)$ уравнение окружности будет:
$(x - 13)^2 + y^2 = 169$

Ответ: $(x + 11)^2 + y^2 = 169$ и $(x - 13)^2 + y^2 = 169$.