Номер 148, страница 82 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

148. Точки $A_1 (-2; 1)$, $B_1 (4; -3)$ и $C_1 (-1; 5)$ — середины сторон некоторого треугольника. Найдите координаты его вершин.

148. Точки $A_1 (-2; 1)$, $B_1 (4; -3)$ и $C_1 (-1; 5)$ — середины сторон некоторого треугольника. Найдите координаты его вершин.

Пусть вершины искомого треугольника имеют координаты $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ и $C(x_C, y_C)$.

По условию, точки $A_1(-2; 1)$, $B_1(4; -3)$ и $C_1(-1; 5)$ являются серединами его сторон. Примем, что $A_1$ — середина стороны $BC$, $B_1$ — середина стороны $AC$, а $C_1$ — середина стороны $AB$.

Координаты середины отрезка находятся по формулам: $x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и $y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Используя эти формулы, составим системы уравнений для нахождения координат вершин треугольника.

Для абсцисс (координат $x$):

$x_{A_1} = \frac{x_B + x_C}{2} \implies -2 = \frac{x_B + x_C}{2} \implies x_B + x_C = -4$
$x_{B_1} = \frac{x_A + x_C}{2} \implies 4 = \frac{x_A + x_C}{2} \implies x_A + x_C = 8$
$x_{C_1} = \frac{x_A + x_B}{2} \implies -1 = \frac{x_A + x_B}{2} \implies x_A + x_B = -2$

Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

$\begin{cases} x_B + x_C = -4 & (1) \\ x_A + x_C = 8 & (2) \\ x_A + x_B = -2 & (3) \end{cases}$

Сложим все три уравнения системы: $(x_B + x_C) + (x_A + x_C) + (x_A + x_B) = -4 + 8 + (-2)$, что дает $2x_A + 2x_B + 2x_C = 2$, или $x_A + x_B + x_C = 1$ (4).

Теперь, вычитая из уравнения (4) поочередно уравнения (1), (2) и (3), найдем $x_A$, $x_B$ и $x_C$:

$(x_A + x_B + x_C) - (x_B + x_C) = 1 - (-4) \implies x_A = 5$
$(x_A + x_B + x_C) - (x_A + x_C) = 1 - 8 \implies x_B = -7$
$(x_A + x_B + x_C) - (x_A + x_B) = 1 - (-2) \implies x_C = 3$

Аналогично поступим для ординат (координат $y$):

$y_{A_1} = \frac{y_B + y_C}{2} \implies 1 = \frac{y_B + y_C}{2} \implies y_B + y_C = 2$
$y_{B_1} = \frac{y_A + y_C}{2} \implies -3 = \frac{y_A + y_C}{2} \implies y_A + y_C = -6$
$y_{C_1} = \frac{y_A + y_B}{2} \implies 5 = \frac{y_A + y_B}{2} \implies y_A + y_B = 10$

Получили систему:

$\begin{cases} y_B + y_C = 2 & (5) \\ y_A + y_C = -6 & (6) \\ y_A + y_B = 10 & (7) \end{cases}$

Сложим все три уравнения: $(y_B + y_C) + (y_A + y_C) + (y_A + y_B) = 2 + (-6) + 10$, что дает $2y_A + 2y_B + 2y_C = 6$, или $y_A + y_B + y_C = 3$ (8).

Вычитая из уравнения (8) поочередно уравнения (5), (6) и (7), найдем $y_A$, $y_B$ и $y_C$:

$(y_A + y_B + y_C) - (y_B + y_C) = 3 - 2 \implies y_A = 1$
$(y_A + y_B + y_C) - (y_A + y_C) = 3 - (-6) \implies y_B = 9$
$(y_A + y_B + y_C) - (y_A + y_B) = 3 - 10 \implies y_C = -7$

Таким образом, мы нашли координаты вершин треугольника: $A(5; 1)$, $B(-7; 9)$ и $C(3; -7)$.

Ответ: Координаты вершин треугольника: (5; 1), (-7; 9), (3; -7).