Номер 149, страница 82 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

149. Определите по уравнению окружности координаты её центра и радиус:

1) $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 49;$

2) $(x + 7)^2 + (y + 1)^2 = 36;$

3) $(x - 6)^2 + (y + 15)^2 = 81;$

4) $x^2 + (y - 9)^2 = 2.$

149. Определите по уравнению окружности координаты её центра и радиус:

1) $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 49;$

2) $(x + 7)^2 + (y + 1)^2 = 36;$

3) $(x - 6)^2 + (y + 15)^2 = 81;$

4) $x^2 + (y - 9)^2 = 2.$

Общее уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Чтобы определить координаты центра и радиус по заданному уравнению, необходимо сравнить его с этим стандартным видом.

1) $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 49$

Сравниваем данное уравнение со стандартной формой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Для координаты $x$ имеем $(x + 2)^2$. Это можно переписать как $(x - (-2))^2$. Следовательно, координата центра $a = -2$.

Для координаты $y$ имеем $(y - 5)^2$. Отсюда координата центра $b = 5$.

Таким образом, центр окружности находится в точке с координатами $(-2; 5)$.

Правая часть уравнения равна квадрату радиуса: $R^2 = 49$.

Чтобы найти радиус, извлечем квадратный корень: $R = \sqrt{49} = 7$.

Ответ: центр $(-2; 5)$, радиус $R = 7$.

2) $(x + 7)^2 + (y + 1)^2 = 36$

Сравниваем со стандартной формой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Выражение $(x + 7)^2$ соответствует $(x - (-7))^2$, значит $a = -7$.

Выражение $(y + 1)^2$ соответствует $(y - (-1))^2$, значит $b = -1$.

Центр окружности находится в точке с координатами $(-7; -1)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 36$.

Радиус $R = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: центр $(-7; -1)$, радиус $R = 6$.

3) $(x - 6)^2 + (y + 15)^2 = 81$

Сравниваем со стандартной формой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Из $(x - 6)^2$ следует, что $a = 6$.

Из $(y + 15)^2$, или $(y - (-15))^2$, следует, что $b = -15$.

Центр окружности находится в точке с координатами $(6; -15)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 81$.

Радиус $R = \sqrt{81} = 9$.

Ответ: центр $(6; -15)$, радиус $R = 9$.

4) $x^2 + (y - 9)^2 = 2$

Сравниваем со стандартной формой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Выражение $x^2$ можно записать как $(x - 0)^2$, следовательно $a = 0$.

Из $(y - 9)^2$ следует, что $b = 9$.

Центр окружности находится в точке с координатами $(0; 9)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 2$.

Радиус $R = \sqrt{2}$.

Ответ: центр $(0; 9)$, радиус $R = \sqrt{2}$.