Номер 143, страница 82 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

143. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (2; -3), B (-4; -1), C (1; -1)$ и $D (7; -3)$ является параллелограммом.

143. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (2; -3)$, $B (-4; -1)$, $C (1; -1)$ и $D (7; -3)$ является параллелограммом.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, можно воспользоваться одним из его свойств: диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что середины диагоналей AC и BD должны совпадать.

Даны вершины четырёхугольника: A(2; -3), B(-4; -1), C(1; -1) и D(7; -3).

1. Найдём координаты середины диагонали AC.

Координаты середины отрезка вычисляются по формулам: $x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и $y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Пусть M — середина AC. Тогда её координаты:

$x_M = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

$y_M = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-3 + (-1)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, координаты середины диагонали AC — M(1.5; -2).

2. Найдём координаты середины диагонали BD.

Пусть K — середина BD. Тогда её координаты:

$x_K = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{-4 + 7}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

$y_K = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{-1 + (-3)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, координаты середины диагонали BD — K(1.5; -2).

3. Сравним полученные координаты.

Координаты точки M и точки K совпадают. Это означает, что диагонали AC и BD пересекаются в одной и той же точке и делятся ею пополам.

Поскольку диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то данный четырёхугольник является параллелограммом по признаку параллелограмма.

Ответ: Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, так как его диагонали имеют общую середину в точке (1.5; -2).