Номер 140, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

140. На прямой, содержащей биссектрисы первого и третьего координатных углов, найдите точку, равноудалённую от точек $A (5; 4)$ и $B (2; 1)$.

140. На прямой, содержащей биссектрисы первого и третьего координатных углов, найдите точку, равноудалённую от точек $A (5; 4)$ и $B (2; 1)$.

Прямая, содержащая биссектрисы первого и третьего координатных углов, является прямой, у которой все точки имеют равные абсциссу и ординату. Уравнение этой прямой: $y = x$.
Пусть искомая точка $M$ имеет координаты $(x; y)$. Поскольку точка $M$ лежит на указанной прямой, ее координаты равны, то есть $M(x; x)$.
По условию задачи, точка $M$ равноудалена от точек $A(5; 4)$ и $B(2; 1)$. Это означает, что расстояние $MA$ равно расстоянию $MB$, или, что эквивалентно, квадраты этих расстояний равны: $MA^2 = MB^2$.
Квадрат расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
Выразим квадраты расстояний $MA^2$ и $MB^2$:
$MA^2 = (5 - x)^2 + (4 - x)^2$
$MB^2 = (2 - x)^2 + (1 - x)^2$
Теперь приравняем эти выражения и решим полученное уравнение:
$(5 - x)^2 + (4 - x)^2 = (2 - x)^2 + (1 - x)^2$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(25 - 10x + x^2) + (16 - 8x + x^2) = (4 - 4x + x^2) + (1 - 2x + x^2)$
Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения:
$2x^2 - 18x + 41 = 2x^2 - 6x + 5$
Вычтем $2x^2$ из обеих частей уравнения:
$-18x + 41 = -6x + 5$
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:
$41 - 5 = 18x - 6x$
$36 = 12x$
$x = \frac{36}{12}$
$x = 3$
Так как координаты искомой точки $M(x; x)$, то ее координаты равны $(3; 3)$.
Ответ: $(3; 3)$.