Номер 147, страница 82 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

147. Найдите координаты вершины $B$ равностороннего треугольника $ABC$, если известны координаты вершин $A (0; -1)$ и $C (0; 3)$.

147. Найдите координаты вершины $B$ равностороннего треугольника $ABC$, если известны координаты вершин $A (0; -1)$ и $C (0; 3)$.

Пусть координаты искомой вершины $B$ будут $(x, y)$. Поскольку треугольник $ABC$ является равносторонним, то длины всех его сторон равны: $AB = BC = AC$.

1. Сначала найдем длину стороны $AC$, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
Даны координаты вершин $A(0, -1)$ и $C(0, 3)$.
$AC = \sqrt{(0-0)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{0^2 + (3+1)^2} = \sqrt{4^2} = 4$.
Так как треугольник равносторонний, то $AB = BC = 4$.

2. Теперь, зная длины сторон $AB$ и $BC$, мы можем составить систему уравнений для нахождения координат $(x, y)$ вершины $B$.
Расстояние $AB = \sqrt{(x-0)^2 + (y-(-1))^2} = \sqrt{x^2 + (y+1)^2}$.
Расстояние $BC = \sqrt{(x-0)^2 + (y-3)^2} = \sqrt{x^2 + (y-3)^2}$.
Так как $AB=4$ и $BC=4$, возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корней:
$AB^2 = x^2 + (y+1)^2 = 16$
$BC^2 = x^2 + (y-3)^2 = 16$

3. Решим полученную систему уравнений:
$\begin{cases} x^2 + (y+1)^2 = 16 \\ x^2 + (y-3)^2 = 16 \end{cases}$
Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:
$x^2 + (y+1)^2 = x^2 + (y-3)^2$
$(y+1)^2 = (y-3)^2$
Раскроем скобки:
$y^2 + 2y + 1 = y^2 - 6y + 9$
Перенесем члены с $y$ в одну сторону, а константы в другую:
$2y + 6y = 9 - 1$
$8y = 8$
$y = 1$

4. Теперь подставим найденное значение $y=1$ в любое из уравнений системы, чтобы найти $x$. Возьмем первое уравнение:
$x^2 + (1+1)^2 = 16$
$x^2 + 2^2 = 16$
$x^2 + 4 = 16$
$x^2 = 16 - 4$
$x^2 = 12$
$x = \pm\sqrt{12} = \pm\sqrt{4 \cdot 3} = \pm2\sqrt{3}$

Таким образом, существуют две возможные точки для вершины $B$, симметричные относительно прямой $AC$ (оси $Oy$).

Ответ: $(2\sqrt{3}; 1)$ или $(-2\sqrt{3}; 1)$.