Номер 142, страница 82 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

142. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $A (-5; 3)$, $C (6; -4)$, $D (-4; 6)$. Найдите координаты вершины $B$.

142. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм, $A(-5; 3)$, $C(6; -4)$, $D(-4; 6)$. Найдите координаты вершины B.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Иными словами, середина диагонали $AC$ совпадает с серединой диагонали $BD$.

Пусть искомые координаты вершины $B$ равны $(x; y)$.

1. Найдём координаты точки $O$ — середины диагонали $AC$. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2}$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2}$

Подставим координаты точек $A(-5; 3)$ и $C(6; -4)$:

$x_O = \frac{-5 + 6}{2} = \frac{1}{2}$

$y_O = \frac{3 + (-4)}{2} = -\frac{1}{2}$

Таким образом, точка пересечения диагоналей $O$ имеет координаты $(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2})$.

2. Точка $O$ также является серединой диагонали $BD$. Используем те же формулы для координат середины отрезка, но теперь для диагонали $BD$ с точками $B(x; y)$ и $D(-4; 6)$:

$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{x + (-4)}{2}$

$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} \Rightarrow -\frac{1}{2} = \frac{y + 6}{2}$

3. Решим полученные уравнения относительно $x$ и $y$.

Из первого уравнения:

$\frac{1}{2} = \frac{x - 4}{2}$

$1 = x - 4$

$x = 1 + 4 = 5$

Из второго уравнения:

$-\frac{1}{2} = \frac{y + 6}{2}$

$-1 = y + 6$

$y = -1 - 6 = -7$

Следовательно, координаты вершины $B$ равны $(5; -7)$.

Ответ: $(5; -7)$.