Номер 145, страница 82 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-3; 6)$, $B (1; 10)$, $C (4; 7)$ и $D (0; 3)$ является прямоугольником.

145. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-3; 6)$, $B (1; 10)$, $C (4; 7)$ и $D (0; 3)$ является прямоугольником.

Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, необходимо показать, что он является параллелограммом, у которого диагонали равны. Для этого мы вычислим длины его сторон и диагоналей, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Для удобства будем вычислять и сравнивать квадраты длин.

Координаты вершин четырёхугольника: A(-3; 6), B(1; 10), C(4; 7), D(0; 3).

1. Проверка на то, является ли ABCD параллелограммом

Четырёхугольник является параллелограммом, если его противолежащие стороны попарно равны. Найдём квадраты длин всех сторон:

• Квадрат длины стороны AB: $|AB|^2 = (1 - (-3))^2 + (10 - 6)^2 = (4)^2 + (4)^2 = 16 + 16 = 32$.
• Квадрат длины стороны BC: $|BC|^2 = (4 - 1)^2 + (7 - 10)^2 = (3)^2 + (-3)^2 = 9 + 9 = 18$.
• Квадрат длины стороны CD: $|CD|^2 = (0 - 4)^2 + (3 - 7)^2 = (-4)^2 + (-4)^2 = 16 + 16 = 32$.
• Квадрат длины стороны DA: $|DA|^2 = (-3 - 0)^2 + (6 - 3)^2 = (-3)^2 + (3)^2 = 9 + 9 = 18$.

Сравнивая квадраты длин противолежащих сторон, получаем:

$|AB|^2 = |CD|^2 = 32 \implies |AB| = |CD|$

$|BC|^2 = |DA|^2 = 18 \implies |BC| = |DA|$

Поскольку противолежащие стороны четырёхугольника попарно равны, ABCD является параллелограммом.

2. Проверка равенства диагоналей

Параллелограмм является прямоугольником, если его диагонали равны. Найдём квадраты длин диагоналей AC и BD:

• Квадрат длины диагонали AC: $|AC|^2 = (4 - (-3))^2 + (7 - 6)^2 = (7)^2 + (1)^2 = 49 + 1 = 50$.
• Квадрат длины диагонали BD: $|BD|^2 = (0 - 1)^2 + (3 - 10)^2 = (-1)^2 + (-7)^2 = 1 + 49 = 50$.

Сравнивая квадраты длин диагоналей, получаем:

$|AC|^2 = |BD|^2 = 50 \implies |AC| = |BD|$

Так как ABCD — параллелограмм с равными диагоналями, он является прямоугольником.

Ответ: Утверждение, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, доказано.