Номер 133, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Вершинами треугольника являются точки A (-3; 1), B (2; -5) и C (3; 6). Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

133. Вершинами треугольника являются точки $A(-3; 1)$, $B(2; -5)$ и $C(3; 6)$. Докажите, что треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Чтобы доказать, что треугольник является равнобедренным, необходимо показать, что две его стороны имеют одинаковую длину. Для этого найдем длины всех сторон треугольника ABC, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Даны координаты вершин треугольника: A(-3; 1), B(2; -5) и C(3; 6).

1. Вычислим длину стороны AB.

Подставляем координаты точек A(-3; 1) и B(2; -5) в формулу:

$|AB| = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-5 - 1)^2} = \sqrt{(2 + 3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{5^2 + 36} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$.

2. Вычислим длину стороны BC.

Подставляем координаты точек B(2; -5) и C(3; 6) в формулу:

$|BC| = \sqrt{(3 - 2)^2 + (6 - (-5))^2} = \sqrt{1^2 + (6 + 5)^2} = \sqrt{1^2 + 11^2} = \sqrt{1 + 121} = \sqrt{122}$.

3. Вычислим длину стороны AC.

Подставляем координаты точек A(-3; 1) и C(3; 6) в формулу:

$|AC| = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (6 - 1)^2} = \sqrt{(3 + 3)^2 + 5^2} = \sqrt{6^2 + 25} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61}$.

Сравнив полученные длины сторон, мы видим, что $|AB| = |AC| = \sqrt{61}$, а $|BC| = \sqrt{122}$.

Поскольку две стороны треугольника, AB и AC, равны, то треугольник ABC является равнобедренным по определению. Что и требовалось доказать.

Ответ: Длины сторон треугольника равны $|AB| = \sqrt{61}$, $|AC| = \sqrt{61}$ и $|BC| = \sqrt{122}$. Так как $|AB| = |AC|$, треугольник ABC является равнобедренным.