Номер 127, страница 80 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

127. Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен 10 см, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) $120^\circ$;

2) $240^\circ$.

127. Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен 10 см, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) $120^\circ$;

2) $240^\circ$.

Площадь кругового сегмента вычисляется как разность площади кругового сектора и площади треугольника, образованного радиусами и хордой, стягивающей дугу.

Общая формула для площади сегмента:

$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} - \frac{1}{2}R^2\sin(\alpha)$

где $R$ — радиус круга, а $\alpha$ — градусная мера дуги сегмента.

По условию задачи, радиус круга $R = 10$ см.

1) 120°

Подставим в формулу значения $R = 10$ см и $\alpha = 120°$.

Сначала найдем площадь соответствующего кругового сектора:

$S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 10^2 \cdot 120}{360} = \frac{100\pi}{3}$ (см²).

Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и хордой. Стороны треугольника, являющиеся радиусами, равны 10 см, а угол между ними равен $120°$.

$S_{\triangle} = \frac{1}{2}R^2\sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 10^2 \cdot \sin(120°)$

Используем значение синуса: $\sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}$ (см²).

Площадь сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника:

$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle} = \frac{100\pi}{3} - 25\sqrt{3}$ (см²).

Ответ: $(\frac{100\pi}{3} - 25\sqrt{3})$ см².

2) 240°

Подставим в общую формулу значения $R = 10$ см и $\alpha = 240°$.

Площадь кругового сектора:

$S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 10^2 \cdot 240}{360} = \frac{100\pi \cdot 2}{3} = \frac{200\pi}{3}$ (см²).

Площадь треугольника, образованного радиусами и хордой, с углом $\alpha = 240°$ между радиусами.

$S_{\triangle} = \frac{1}{2}R^2\sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 10^2 \cdot \sin(240°)$

Используем значение синуса: $\sin(240°) = \sin(180° + 60°) = -\sin(60°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -25\sqrt{3}$ (см²).

Теперь вычисляем площадь сегмента по общей формуле:

$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle} = \frac{200\pi}{3} - (-25\sqrt{3}) = \frac{200\pi}{3} + 25\sqrt{3}$ (см²).

В данном случае, когда дуга больше $180°$, площадь сегмента равна сумме площадей сектора и треугольника, что и подтверждается расчетами, так как $\sin(240°)$ имеет отрицательное значение.

Ответ: $(\frac{200\pi}{3} + 25\sqrt{3})$ см².